ГЛАВА IV. ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО

§ 1. Скалярное произведение

Мы определили векторное пространство, в котором можно складывать векторы и умножать их на числа, ввели понятия размерности, базиса, линейного оператора, а теперь в этом пространстве мы введем метрику, т. е. способ измерять длины и углы. Метрику в векторном пространстве удобнее всего ввести, используя понятие скалярного произведения.

В обычном трехмерном пространстве скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин, умноженное на косинус угла между ними. Это скалярное умножение коммутативно: ассоциативно относительно умножения вектора на число: и дистрибутивно относительно сложения векторов: кроме того, скалярный квадрат любого ненулевого вектора х положителен.

В случае -мерного векторного пространства у нас нет понятия длины и угла, и мы введем скалярное произведение аксиоматически. Его определение мы дадим для случая, когда основное поле есть поле комплексных чисел. Читатель, собирающийся изучать вещественное евклидово пространство, должен всюду, где над числом а из поля стоит черточка, просто ее опустить: ведь в том случае, когда число авещественно (и, кстати сказать, только в этом случае)

Определение 1. Говорят, что в векторном пространстве задано скалярное произведение, если каждой паре векторов из поставлено в соответствие число так, что выполнены следующие условия:

1. Для любых двух векторов х и у

случае вещественного пространства

2. Для каждого вектора х и любого

3. Для любых трех векторов

(Эти условия называются аксиомами скалярного умножения.) Пространство называется в этом случае пространством со скалярным произведением.

Из условия 1 непосредственно вытекает, что т. е. что скалярный квадрат любого вектора х является вещественным числом.

Пространство со скалярным произведением, удовлетворяющее кроме условий 1—3 еще и условию

4. Для любого вектора х скалярный квадрат и из равенства вытекает, что называется евклидовым векторным пространством.

Из равенств 1—3 легко получаются следующие соотношения:

(В вещественном случае )

Примеры 1. Пусть в -мерном векторном пространстве зафиксирован определенный базис. Тогда скалярное произведение векторов можно определить равенством

(в вещественном пространстве . Справедливость условий 1—4 проверяется непосредственно.

2. В пространстве Р многочленов от с вещественными коэффициентами и в пространстве С функций, непрерывных на отрезке

скалярное произведение можно определить равенством

Справедливость условий 1—3 очевидна, а 4-е следует из того, что непрерывная неотрицательная функция, интеграл от которой равен нулю, тождественно равна нулю.

Определение 2. Длиной, или модулем, или нормой, вектора х в евклидовом пространстве называется корень квадратный из его скалярного квадрата

Векторы х и у, скалярное произведете которых равно нулю (а значит, равно нулю и произведение ), называются ортогональными. В этом случае мы будем также писать

В любом пространстве со скалярным произведением справедлива

«Теорема Пифагора», Если векторы х и у ортогональны, то

Действительно, если то, ввиду условий 1-3,

В любом евклидовом пространстве справедливо

Неравенство Коши — Буняковского: для любых векторов из

Доказательство проведем отдельно для вещественного и комплексного случаев.

А. Пространство — вещественное.

Если то для вектора по условию 4 имеем неравенство

из которого, ввиду условий получаем

или

Это — квадратный трехчлен относительно а. Так как он должен быть неотрицательным при всех значениях а, то он не может иметь двух различных вещественных корней и, значит, его дискриминант неположителен:

откуда

что и требовалось доказать.

Б. Пространство — комплексное.

И в этом случае для любых двух векторов из и любого (комплексного) числа а

откуда, в силу условий получаем

Полагая где Р — произвольное вещественное число, и учитывая, что будем иметь

Мы получили квадратный трехчлен относительно Невещественными коэффициентами. Так как он неотрицателен при всех то его дискриминант неположителен и, значит,

что и требовалось доказать.

Легко видеть, что равенство будет иметь место в том и только в том случае, если для некоторого имеем т. е. если векторы пропорциональны:

В вещественном евклидовом пространстве можно определить угол между ненулевыми векторами х

и у. По определению,

Легко видеть, что, ввиду неравенства Коши — Буняковского,

Из неравенства Коши — Буняковского, если применить его к пространству Р со скалярным произведением (1), получается «неравенство Коши»: для любых чисел

— для комплексного пространства и

— в вещественном случае, а для пространства С со скалярным произведением (2) — «неравенство Буняковского»

справедливое для любых двух непрерывных функций

Вевклидовом пространстве справедливо так называемое неравенство треугольника: для любых двух векторов

Доказательство в вещественном случае очень просто. Пользуясь неравенством Коши—Буняковского, получаем

откуда

Пусть теперь пространство — комплексное. Имеем, очевидно,

Скалярное произведение есть, вообще говоря, комплексное число, пусть Тогда и

Следовательно,

а это, в силу неравенства Коши—Буняковского, не превосходит

Таким образом, , значит,

Равенство будет выполняться, если, во-первых, (и тогда и если, во-вторых, , т. е. если и скалярное произведение вещественно и положительно. А тогда