§ 7. Подпространства векторного пространства

Определение 6. Подпространство векторного пространства — это множество его элементов, само являющееся векторным пространством относительно введенных в операций сложения и умножения на число.

Для того чтобы убедиться в том, что множество элементов векторного пространства является его подпространством, необходимо проверить, что для любых двух векторов х и у из их сумма тоже принадлежит и что для каждого вектора х из и произвольного произведение тоже принадлежит

Покажем, что этого и достаточно. Действительно, аксиомы 1, 2 и 5—8 векторного пространства, справедливые в будут выполняться, в частности, и для элементов из Далее, если какой-то вектор то и произведения 0-х тоже принадлежат Следовательно, нулевой вектор принадлежит и для каждого х из вектор — х тоже принадлежит

Размерность любого подпространства векторного пространства не превосходит размерности самого пространства: ведь линейно независимые векторы подпространства будут линейно независимыми и во всем пространстве, а значит, максимальное число линейно независимых векторов подпространства не превосходит размерности всего пространства.

Примеры. В обычном трехмерном пространстве (рассматриваемом как множество принадлежащих ему векторов) подпространствами будут все плоскости и все прямые, проходящие через начало координат. Подпространствами любого пространства будут само пространство и множество, состоящее из одного нуля. В пространстве многочленов степени не выше подпространствами будут, например, все при — ведь складывая и умножая на числа многочлены степени не выше мы будем получать снова такие же многочлены. С другой стороны, каждое из пространств содержится в качестве подпространства в пространстве Р всех многочленов с вещественными коэффициентами, а это последнее является подпространством пространства С не прерывных функций,

Рассмотрим систему линейных однородных уравнений, ранг матрицы коэффициентов которой равен

и пусть в векторном пространстве зафиксирован какой-то базис. Если каждое решение системы (3) рассматривать как вектор пространства то из результатов § 10 главы 1 вытекает, что совокупность всех решений системы (3) является -мерным подпространством (где базисом которого служит любая фундаментальная система решений.

Покажем, что и, обратно, каждое подпространство векторного пространства в любом базисе определяется некоторой системой линейных однородных уравнений.

Действительно, пусть -мерное подпространство в — базис Дополним эту линейно независимую систему векторов до базиса всего пространства Легко видеть, что если — координаты относительно этого («старого») базиса, то подпространство в этом базисе определяется системой уравнений:

Далее, если — координаты относительно любого другого («нового») базиса то, как показано в § 6, имеют место, в частности, равенства

где — некоторые числа, и значит, подпространство в базисе ей определяется системой линейных однородных уравнений