§ 2. Инварианты кривой второго порядка

Слово ивариантный значит неизменный. Инвариантами кривой называются такие выражения, составленные из коэффициентов ее уравнения, которые не меняются при переходе от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой такой же системе, т. е. при поворотах осей координат и при параллельных переносах осей.

Теорема 1. Для кривой второго порядка (1) сумма коэффициентов при квадратах координат

определитель, составленный из коэффициентов при старших членах

и определитель третьего порядка

являются инвариантами.

Доказательство. Рассмотрим отдельно перенос начала координат и поворот координатных осей. Предположим прежде, что начало координат (при сохранении направлений осей) переносится в точку с координатами Тогда

где х и у — новые координаты. Подставляя эти значения х и у в уравнение (1), получим

или

Мы видим, старших членов вообще не изменилась, отсюда инвариантность и очевидна. (Заметим, кстати, что коэффициент при х равен — частной производной от левой части уравнения (1) по А взятой при коэффициент при у равен , а свободный член равен так что окончательно преобразованное уравнение принимает вид

Для уравнения (12) определитель равен

Вычитая из последней строки этого определителя первую, умноженную на а, и вторую, умноженную на получим

А проделав такие же операции над столбцами полученного опеределителя, найдем, что он равен

т. е. равен старому определителю А. Таким образом, инвариантность А при переносах начала координат тоже доказана.

Далее, при повороте осей координат на угол мы переходим от одного ортонормированного базиса к другому — такому же; следовательно, матрица квадратичной формы

преобразуется так же, как матрица соответствующего линейного преобразования (см. § 5 главы VI). Но для линейного преобразования с матрицей

коэффициенты его характеристического уравнения

вообще не зависят от выбора базиса (теорема 6 § 8 главы III). Этим доказана инвариантность и при поворотах координатных осей. Аналогично, можно доказать и инвариантность определителя А.

В самом деле, если мы перейдем к новому базису где

то координаты преобразуются по формулам

В трехмерном евклидовом пространстве в ортонормированном базисе рассмотрим квадратичную форму от трех переменных:

которая при превращается в При переходе к новому базису с матрицей перехода

координаты в преобразуются по формулам

Если при подстановке (13) переходит в

(свободный член при этом, очевидно, не меняется), то ясно, что при подстановке (14) перейдет в

Но при переходе к новому (ортонормированному!) базису определитель матрицы квадратичной формы не меняется, следовательно, для формы имеет место равенство

Левая часть его есть определитель для в новом базисе а правая часть — в старом. Следовательно, и при поворотах координатных осей этот определитель также не меняется. Теорема полностью доказана.

По значению можно судить о типе кривой: если перед нами кривая эллиптического типа (эллипс, точка или «пустое множество» — «мнимый эллипс»), если, — кривая гиперболического типа (гипербола или пара пересекающихсявещественных прямых), если — кривая параболического

типа (парабола или пара параллельных прямых, возможно, совпадающих или даже не существующих — «мнимых»).

Установленная в теореме 1 инвариантность выражений и А облегчает приведение уравнения кривой к аноническому виду. Так, например, в случае центральной кривой, т. е. при уравнение кривой, как идели, приводится к виду

де — собственные значения линейного оператора матрицей Но для последнего уравнения

откуда или Таким образом, «каноническое», т. уже упрощенное, уравнение центральной кривой второго порядка, будет иметь вид

Если

то наша кривая — эллипс или «мнимый эллипс, на будет эллипсом (вещественным), если разных знаков, т. е. но так как — одного знака с то это будет, если . Кривая будет «мнимым эллипсом» в том случае, когда Если же то кривая представляет обой точку.

Если то кривая является гиперболой при 0 и распадается на пару пересекающихся рямых при

Для параболы, уравнение которой приведено к виду

откуда

Здесь , значит, .

В случае пары параллельных прямых (раз личных, совпадающих или «мнимых») уравнение кривой приводится к виду

В этом случае

Соберем результаты двух последних параграфов в следующую таблицу:

Из этой таблицы, в частности, видно, что определи тель равен нулю в том и только в том случае, когд кривая распадается на пару (действительных или «мнимых») прямых

Примеры. Определить типы следующих кривых и привест их уравнения к каноническому виду.

Решение.

это — кривая эллиптического типа. Так как

о кривая не распадается. Поскольку то кривая представляет собой эллипс.

Далее,

Каноническое уравнение кривой

полуоси этого эллипса

кривая эллиптического типа. Здесь

кривая не распадается Так как то это — «мнимый эллипс» («пусгое множество» точек).

кривая эллиптическою типа.

Эта кривая, уравнение которой можно записать в виде

представляет собой точку

(ее можно также понимать как пару пересекающихся в этой точке «мнимых прямых»

кривая гиперболического типа. Поскольку

то это — гипербола. Далее,

Каноническое уравнение кривой

полуоси этой гиперболы

кривая гиперболического типа. Здесь

и, значит, кривая распадается на пару пересекающихся прямых. Следовательно, левая часть уравнения кривой распадается на два линейных множителя. Чтобы найти эти множители, можно поступить, например, следующим образом. Уравнение

решим относительно х (так как уже известно, что левая часть уравнения распадается на линейные множители, то будет рационально

выражаться через у):

Левая часть уравнения распадается, следовательно, на множители: и кривая распадается на пару прямых:

кривая параболического типа. Так как

то это — парабола. Далее,

Каноническое уравнение кривой:

кривая параболического типа. Далее

эта кривая распадается на пару параллельных прямых:

ривая параболического типа. Здесь

и наша кривая состоит из двух совпавших прямых:

кривая параболического типа. Здесь

эта кривая представляет собой «пустое множество» точек. (Ее уравнение можно переписать так:

говорят поэтому, что она представляет собой тару параллельных мнимых прямых»).