§ 8. Линейные многообразия
Пусть дано векторное пространство
в котором выбран некоторый базис.
Рассмотрим (совместную) систему линейных, вообще говоря, неоднородных уравнений:
ранг матрицы коэффициентов которой равен
и пусть
.
Определение 7. Совокупность векторов пространства
координаты которых удовлетворяют системе линейных уравнений (4), называется линейным многообразием.
Рис. 6.
Согласно замечанию, сделанному в конце § 10 главы I, общее решение
системы (4) равно сумме общего решения
соответствующей (т. е. с теми же коэффициентами при неизвестных) однородной системы (3) и произвольного, но фиксированного решения а
системы (4). Таким образом, линейное многообразие решений системы (4) получается, если к каждому вектору из подпространства решений соответствующей однородной системы (3) прибавить один и тот же вектор а (см. рис. 6, где концы векторов,
образующих линейное многообразие, принадлежат плоскости
, получающейся из подпространства
параллельным переносом на вектор а).
Покажем, что и, обратно, если к каждому вектору подпространства
прибавить один и тот же вектор а, то получится линейное многообразие. Пусть подпространство
определяется системой линейных однородных уравнений (3) и
Положим
и рассмотрим систему уравнений (4). Ввиду условий (5), вектор а является одним из решений этой (вообще говоря, неоднородной) системы. Следовательно, линейное многообразие, определяемое системой (4), совпадает с заданным множеством
а векторов.
Линейное-многообразие (4) называется
-мерным, если
-мерно соответствующее ему подпространство (3).