§ 8. Линейные многообразия

Пусть дано векторное пространство в котором выбран некоторый базис.

Рассмотрим (совместную) систему линейных, вообще говоря, неоднородных уравнений:

ранг матрицы коэффициентов которой равен и пусть .

Определение 7. Совокупность векторов пространства координаты которых удовлетворяют системе линейных уравнений (4), называется линейным многообразием.

Рис. 6.

Согласно замечанию, сделанному в конце § 10 главы I, общее решение системы (4) равно сумме общего решения соответствующей (т. е. с теми же коэффициентами при неизвестных) однородной системы (3) и произвольного, но фиксированного решения а системы (4). Таким образом, линейное многообразие решений системы (4) получается, если к каждому вектору из подпространства решений соответствующей однородной системы (3) прибавить один и тот же вектор а (см. рис. 6, где концы векторов,

образующих линейное многообразие, принадлежат плоскости , получающейся из подпространства параллельным переносом на вектор а).

Покажем, что и, обратно, если к каждому вектору подпространства прибавить один и тот же вектор а, то получится линейное многообразие. Пусть подпространство определяется системой линейных однородных уравнений (3) и Положим

и рассмотрим систему уравнений (4). Ввиду условий (5), вектор а является одним из решений этой (вообще говоря, неоднородной) системы. Следовательно, линейное многообразие, определяемое системой (4), совпадает с заданным множеством а векторов.

Линейное-многообразие (4) называется -мерным, если -мерно соответствующее ему подпространство (3).