Главная > Линейная алгебра и некоторые ее приложения
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 3. Определение центра и главных осей центральной кривой. Отыскание вершины и оси параболы

В этом параграфе мы будем предполагать, что т. е. что кривая не распадается на пару прямых.

Пусть дано общее уравнение второго порядка Найдем собственные Значения матрицы (4) и соответствующие им собственные векторы Мы знаем, что в базисе, образованном этими векторами, квадратичная форма приводится к суммег квадратов а уравнение (1) — к виду (6); Собственные векторы матрицы (4) находятся, как известно, из систем уравнений

каждая из которых, поскольку ее определитель

равен нулю, сводится к одному уравнению, например,

Следовательно, для имеем

а для

Таким образом, угловые коэффициенты новых осей координат в старой системе равны

и

В дальнейшем достаточно, как мы видели, лишь переноса начала координат для того, чтобы уравнение кривой привелось к каноническому виду, следовательно, определяют направления главных осей кривой (1).

Предположим, что мы рассматриваем центральную кривую второго порядка, т. е. что Для того чтобы найти центр кривой, т. е. начало ноьой системы координат, воспользуемся следующим элементарным соображением. Мы уже видели, что если, не меняя направлений осей, перенести начало координат в точку т. е. если положить

то уравнение (1) приведется к виду

Рассмотрим систему уравнений

Так как ее определитель по предположению, не равен нулю, то она имеет (единственное) решение

Если перенести начало координат в точку то в уравнении кривой исчезнут члены с первыми степенями и значит, новое начало координат будет центром кривой. Таким образом, центр центральной кривой второго порядка (эллипса и гиперболы) определяется из системы уравнений (15).

Рассмотрим теперь нецентральную кривую второго порядка (при Так как мы условились, что то это — парабола. Собственные значения матрицы (4) пусть будут и направления новых осей определяются по-прежнему:

и

Новое начало координат, т. е. вершину параболы, можно найти следующим образом. Для параболы, заданной каноническим уравнением ось служит касательной в вершине. Новая ось в старых координатных осях имеет угловой коэффициент - как она служит касательной к параболе в ее вершине , то должно равняться производной в этой точке. Чтобы найти продифференцируем уравнение (1) по х, считая у функцией от мы получим

или, подробнее,

откуда

Следовательно, в вершине параболы -

откуда

или, короче,

Таким образом, координаты вершины параболы можно найти, решив систему уравнений, состоящую из уравнения

и уравнения (1)

Выясним геометрический смысл уравнения (16), в более подробной записи имеющего вид

Это — прямая, принадлежащая пучку, который определяется прямыми

Угловые коэффициенты этих прямых равны между собой, так как и равны следовательно, эти прямые параллельны новой оси Значит, и принадлежащая определяемому ими пучку прямая (16) тоже параллельна новой оси Но так как она проходит через вершину, то это — ось симметрии параболы, ее главный диаметр.

1
Оглавление
email@scask.ru