§ 3. Определение центра и главных осей центральной кривой. Отыскание вершины и оси параболы

В этом параграфе мы будем предполагать, что т. е. что кривая не распадается на пару прямых.

Пусть дано общее уравнение второго порядка Найдем собственные Значения матрицы (4) и соответствующие им собственные векторы Мы знаем, что в базисе, образованном этими векторами, квадратичная форма приводится к суммег квадратов а уравнение (1) — к виду (6); Собственные векторы матрицы (4) находятся, как известно, из систем уравнений

каждая из которых, поскольку ее определитель

равен нулю, сводится к одному уравнению, например,

Следовательно, для имеем

а для

Таким образом, угловые коэффициенты новых осей координат в старой системе равны

и

В дальнейшем достаточно, как мы видели, лишь переноса начала координат для того, чтобы уравнение кривой привелось к каноническому виду, следовательно, определяют направления главных осей кривой (1).

Предположим, что мы рассматриваем центральную кривую второго порядка, т. е. что Для того чтобы найти центр кривой, т. е. начало ноьой системы координат, воспользуемся следующим элементарным соображением. Мы уже видели, что если, не меняя направлений осей, перенести начало координат в точку т. е. если положить

то уравнение (1) приведется к виду

Рассмотрим систему уравнений

Так как ее определитель по предположению, не равен нулю, то она имеет (единственное) решение

Если перенести начало координат в точку то в уравнении кривой исчезнут члены с первыми степенями и значит, новое начало координат будет центром кривой. Таким образом, центр центральной кривой второго порядка (эллипса и гиперболы) определяется из системы уравнений (15).

Рассмотрим теперь нецентральную кривую второго порядка (при Так как мы условились, что то это — парабола. Собственные значения матрицы (4) пусть будут и направления новых осей определяются по-прежнему:

и

Новое начало координат, т. е. вершину параболы, можно найти следующим образом. Для параболы, заданной каноническим уравнением ось служит касательной в вершине. Новая ось в старых координатных осях имеет угловой коэффициент - как она служит касательной к параболе в ее вершине , то должно равняться производной в этой точке. Чтобы найти продифференцируем уравнение (1) по х, считая у функцией от мы получим

или, подробнее,

откуда

Следовательно, в вершине параболы -

откуда

или, короче,

Таким образом, координаты вершины параболы можно найти, решив систему уравнений, состоящую из уравнения

и уравнения (1)

Выясним геометрический смысл уравнения (16), в более подробной записи имеющего вид

Это — прямая, принадлежащая пучку, который определяется прямыми

Угловые коэффициенты этих прямых равны между собой, так как и равны следовательно, эти прямые параллельны новой оси Значит, и принадлежащая определяемому ими пучку прямая (16) тоже параллельна новой оси Но так как она проходит через вершину, то это — ось симметрии параболы, ее главный диаметр.