2. Рассмотрим двумерное представление циклической группы 
(проверьте сами, что это действительно представление!).
Так как пространство представления двумерно, то инвариантные подпространства (если они существуют) одномерны, и значит, для того чтобы найти их, мы должны найти собственные векторы преобразования 
- они будут собственными и для остальных преобразований, поскольку 
значения преобразования 
находятся из уравнения
и значит, 
При 
собственные векторы находятся из уравнения — 
откуда 
и собственный вектор 
При 
собственные векторы находятся из уравнения 
откуда 
Далее, имеем
Таким образом, в базисе 
матрицы представления Г будут иметь вид 
и представление Г оказывается прямой суммой двух одномерных представлений:
и
Легко видеть, что из любых двух представлений группы 
всегда можно составить представление, являющееся их прямой суммой.
Заметим также, что если представление 
группы 
изоморфно 
изоморфно Г, то прямая сумма 
изоморфна 
Действительно, пусть 
соответственно пространства представлений 
Тогда сущестауют изоморфные отображения 
пространства 
на 
и 
— пространства 
на 
такие, что
Пусть, далее, 
— пространства представлений 
. Тогда отображение 
с матрицей
где 
— матрица отображения 
, в соответственно выбранных базисах, будет, очевидно, изоморфным отображением пространства 
на 
Далее, ясно, что
— матрицы представлений 
, и мы имеем, очевидно,
а значит, представление Г изоморфно Г.
Аналогичное утверждение справедливо, конечно, и для любого числа слагаемых IV
группы 
является прямой суммой 
подпространств 
инвариантных относительно группы 
то в каждом из этих, подпространств представление Г определяет по подпредставлению; обозначим эти подпредставления через 
Говорят, что представление Г является прямой суммой подпредставлений 
что записывается так:
введенное в предыдущем параграфе. Мы видели, что подпространство 
инвариантно относительно группы 
Подпространство 
тоже инвариантно относительно 
так как
— матрицы нашего представления имеют вид
где
