§ 5 Разложение определителя по элементам строки или столбца
Теорема 3. Каждый определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Мы докажем, что при всех 
(разложение по элементам 
строки) и
(разложение по элементам 
столбца).
Для доказательства заметим прежде всего, что если два определителя отличаются друг от друга только элементами одного столбца (строки), то алгебраические дополнения элементов этих столбцов 
в обоих определителях одинаковы, так как при вычислении этих дополнений столбцы (строки), которыми отличаются определители, вычеркиваются.
Докажем теперь для определителя 
справедливость, например, разложения по 
столбцу. Для этого представим его в следующем виде:
(здесь каждый элемент 
столбца представлен в виде суммы 
слагаемых, 
из которых равны нулю). По Двойству 4 (см. замечание на стр. 26) имеем
где
Определитель 
равен произведению элемента 
на его алгебраическое дополнение в этом, определителе. Однако так как определитель лишь 
столбцом
отличается от определителя 
то это алгебраическое дополнение совпадает с алгебраическим дополнением 
элемента 
в определителе 
Аналогично,
Мы доказали, что
Соответствующее равенство для строк легко получается переходом к транспонированному определителю.
Пример. Вычислить определитель четвертого порядка
Решение. Разложим определитель, например, по элементам первой строки
Теорема 4. Сумма произведений элементов любой строки (или столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.
Доказательство. Пусть дан определитель 
отличающийся от 
лишь тем, что в 
его столбце повторен 
столбец:
равен нулю, как определитель с двумя одинаковыми столбцами (следствие из свойства 2). Разложив его по элементам 
столбца, получим
— алгебраические дополнения элементов 
столбца определителя 
но так как определитель 
лишь 
столбцом отличается от 
то они будут и алгебраическими дополнениями элементов 
столбца определителя 
Таким образом, при всех 
и 
и 
