§ 11 Гомоморфизм групп

Определение 7. Говорят, что группа гомоморфна группе или что имеется гомоморфное отображение группы на группу если каждому элементу х группы поставлен в соответствие определенный элемент группы (причем каждый элемент группы поставлен в соответствие хотя бы одному элементу группы так, что для всех элементов х,

Как и изоморфизм, это соответствие «сохраняет групповую операцию». Чем же тогда гомоморфизм отличается от изоморфизма? Тем, что здесь отображение группы на группу не предполагается взаимно однозначным: каждому элементу х группы отвечает один определенный элемент из но разным элементам из может быть поставлен в соответствии один и тот же элемент из Таким образом, изоморфизм является частным случаем гомоморфизма.

Рассмотрим несколько примеров. Группа симметрии ромба V с алементами (и «определяющими соотношениями» гомоморфна циклической группе второго порядка с элементами можно положить, например,

Легко видеть, что произведению любых двух элементов группы отвечает произведение соответствующих элементов группы

Гомоморфное отображение группы V на группу можно установить и иначе:

или еще так:

Другой пример. Циклическая группа шестого порядка с элементами гомоморфна циклической группе второго порядка

и циклической группе третьего порядка

Каждая группа гомоморфна себе самой (ибо можно положить для всех элементов Каждая группа гомоморфна единичной группе (состоящей из

одного единичного элемента для доказательства достаточно положить для всех элементов X в

Легко видеть, что если — гомоморфное отображение группы на группу то где — единица группы единица группы и Это доказывается так же, как соответствующие утверждения для изоморфного отображения (см. § 4),

Каким вообще группам может быть гомоморфна данная группа На этот вопрос полностью отвечает следующая

Теорема о гомоморфизмах. Каждая группа гомоморфна любой своей фактор-группе. Обратно, если группа гомоморфна группе изоморфна фактор-группе группы по некоторой нормальной подгруппе Н.

Таким образом, группы, которым гомоморфна данная группа это, с точностью до изоморфизма, — все ее фактор-группы и только они. Следовательно, — в случае конечной группы порядок каждой такой группы является делителем порядка группы.

Доказательство. I. Пусть — нормальная подгруппа группы Рассмотрим фактор-группу группы по Я. Поставим в соответствие каждому элементу х группы тот смежный класс, в котором содержится этот элемент, т. е. положим Тогда и Но и значит, группа гомоморфна своей факторгруппе

II. Пусть группа гомоморфна группе Рассмотрим множество всех тех элементов группы которые отображаются в единицу группы т. е. таких, что Покажем, что Я — подгруппа в Действительно, если , то а тогда и . Далее, если то Эта подгруппа , называемая ядром гомоморфизма является нормальной, так как если то для любого элемента

и значит,

Покажем теперь, что фактор-группа изоморфна Факторгруппа образована смежными классами группы по подгруппе . Все элементы ядра и только они, отображаются в единицу группы Покажем, что все элементы одного и того же смежного класса по отображаются в один и тот же элемент группы

Действительно, если элементы х и у группы О принадлежат одному и тому же смежному классу по где а тогда

и значит, элементы х и у отображаются в один, и тот же элемент группы Обратно, если то

и значит, и элементы а и у принадлежат одному и тому же смежному классу.

Мы установили взаимно однозначное соответствие между элементами группы и смежными классами группы по Я. Покажем, что это соответствие является изоморфным.

Пусть — элементы группы — содержащие их классы, — соответствующие им элементы группы Классу фактор-группы поставим в соответствие элемент группы Тогда имеем

Но и значит,

т. е. взаимно однозначное соответствие между фактор-группой и «сохраняет групповую операцию», и значит, группы и изоморфны.