одного единичного элемента для доказательства достаточно положить для всех элементов X в
Легко видеть, что если — гомоморфное отображение группы на группу то где — единица группы единица группы и Это доказывается так же, как соответствующие утверждения для изоморфного отображения (см. § 4),
Каким вообще группам может быть гомоморфна данная группа На этот вопрос полностью отвечает следующая
Теорема о гомоморфизмах. Каждая группа гомоморфна любой своей фактор-группе. Обратно, если группа гомоморфна группе изоморфна фактор-группе группы по некоторой нормальной подгруппе Н.
Таким образом, группы, которым гомоморфна данная группа это, с точностью до изоморфизма, — все ее фактор-группы и только они. Следовательно, — в случае конечной группы порядок каждой такой группы является делителем порядка группы.
Доказательство. I. Пусть — нормальная подгруппа группы Рассмотрим фактор-группу группы по Я. Поставим в соответствие каждому элементу х группы тот смежный класс, в котором содержится этот элемент, т. е. положим Тогда и Но и значит, группа гомоморфна своей факторгруппе
II. Пусть группа гомоморфна группе Рассмотрим множество всех тех элементов группы которые отображаются в единицу группы т. е. таких, что Покажем, что Я — подгруппа в Действительно, если , то а тогда и . Далее, если то Эта подгруппа , называемая ядром гомоморфизма является нормальной, так как если то для любого элемента
и значит,
Покажем теперь, что фактор-группа изоморфна Факторгруппа образована смежными классами группы по подгруппе . Все элементы ядра и только они, отображаются в единицу группы Покажем, что все элементы одного и того же смежного класса по отображаются в один и тот же элемент группы
Действительно, если элементы х и у группы О принадлежат одному и тому же смежному классу по где а тогда
и значит, элементы х и у отображаются в один, и тот же элемент группы Обратно, если то
и значит, и элементы а и у принадлежат одному и тому же смежному классу.
Мы установили взаимно однозначное соответствие между элементами группы и смежными классами группы по Я. Покажем, что это соответствие является изоморфным.
Пусть — элементы группы — содержащие их классы, — соответствующие им элементы группы Классу фактор-группы поставим в соответствие элемент группы Тогда имеем
Но и значит,
т. е. взаимно однозначное соответствие между фактор-группой и «сохраняет групповую операцию», и значит, группы и изоморфны.