§ 10. Жорданова нормальная форма

Этот параграф, несколько более трудный, чем остальные, дальше не используется и при первом чтении может быть пропущен.

Пусть — линейный оператор, действующий в векторном пространстве размерности Как было показано в § 8, если в найдется линейно независимых собственных векторов оператора то в базисе, состоящем из этих векторов, матрица оператора приводится к наиболее простому — диагональному виду

где - собственные значения . Так будет, в частности, в том случае, если характеристический многочлен оператора имеет попарно различных корней (см. стр. 123); так будет, как мы увидим ниже, и в случае любого так называемого самосопряженного оператора (как в комплексном, так и в вещественном евклидовом пространстве; см. главу V, стр. 170), и в случае любого унитарного оператора в комплексном евклидовом векторном пространстве (стр. 182).

Однако, как уже тоже было сказано выше (§ 8), к такому простому, диагональному виду приводится матрица далеко не всякого линейного оператора. Рассмотрим, например, линейный оператор с матрицей в некотором базисе характеристический многочлен его имеет два одинаковых корня . Собственные векторы этого оператора определяются уравнением (где х, и -координаты вектора), или — это только векторы, коллинеарные (ср. стр. 338). Поэтому не существует базиса, образованного собственными векторами оператора , и, значит, его матрица ни в каком базисе не приводится к диагональному виду.

Поэтому возникает вопрос о каком-то другом, достаточно простом виде, к которому можно привести матрицу всякого линейного оператора. В комплексном пространстве таким «простейшим», каноническим видом принято считать так называемую жорданову форму матрицы.

Определение 5. Жордановой клеткой называется квадратная матрица вида

в которой на главной диагонали стоит одно и то же число над глазной диагональю — всюду число 1, а все остальные элементы матрицы — нулевые.

Порядок жордановой клетки может быть каким угодно. В частности, он может быть равен и 1: в этом

случае клетка имеет простейший вид: Легко видеть, что характеристический многочлен оператора матрицей которого служит жорданова клетка (16) порядка равен он имеет одно собственное значение кратности и все его собственные векторы коллинеарны Матрица оператора при ни в каком базисе не приводится к диагональному виду (ср. с примером на стр. 129).

Определение 6. Жордановой матрицей называется матрица вида

где — жордановы клетки (вообще говоря, разных порядков), а все остальные клетки этой матрицы — нулевые (т. е. состоят из одних нулей).

Легко видеть, что числа , являются собственными значениями оператора с матрицей 1. Конечно, эти значения не обязательно должны быть разными, некоторые из них могут и совпадать.

Рассмотрим пример жордановой матрицы пятого порядка:

Эта матрица состоит из двух жордановых клеток — третьего и второго порядков. Числа являются собственными значениями оператора 3, характеристический многочлен которого равен Если — базис, соответствующий матрице I, то имеем, очевидно,

Базисные векторы являются собственными векторами оператора 3 с собственными значениями соответственно. Их можно назвать векторами нулевого слоя. Векторы являются «собственными с точностью до векторов нулевого слоя» Это значит, что, скажем, отличается от лишь на вектор при пренебрежении которым вектор можно считать собственным. Эти векторы можно назвать прэтому векторами первого слоя. Аналогично, вектор является «собственным с точностью до вектора т. е. с точностью до вектора первого слоя. Можно сказать поэтому, что это — вектор второго слоя.

Нашей ближайшей целью будет доказательство следующей важной теоремы.

Теорема 9. Матрицу всякого линейного оператора, действующего в комплексном векторном пространстве, можно привести к жордановой форме.

Это значит, что базис векторного пространства, в котором действует рассматриваемый оператор, можно выбрать так, что матрица оператора в этом базисе будет жордановой матрицей.

Для доказательства теоремы 9 нам понадобится следующая

Лемма. Пусть — линейный оператор, действующий в векторном пространстве размерности — его ядро и область значений (см. § 5). Обозначим через М пересечение этих подпространств, т. е. пусть Выберем в М базис дополним его до базиса ядра с одной стороны, и до базиса подпространства — с другой. Пусть далее — прообразы векторов — прообразы векторов при преобразовании . (Это значит, что при при Схематически это можно изобразить так:

Тогда векторы

образуют базис пространства

Доказательство. Число векторов системы (17) равно при этом размерность подпространства равна рангу матрицы В (см. § 5), а размерность ядра (дефект оператора ) равна (теорема 4). Значит, число векторов системы (17) равно размерности пространства — и нам остается доказать, что эти векторы линейно независимы. Предположим, что они линейно зависимы, т. е. что имеет место равенство

Применим к обеим частям этого равенства оператор

Но так как при при при мы имеем

Однако векторы образуют базис , значит, линейно независимы, т. е. при Поэтому из равенства (18) следует, что

и ввиду линейной независимости векторов также и при

Так как векторы системы (17) линейно независимы, а число их равно размерности пространства то они образуют базис

Теперь мы можем перейти к доказательству теоремы 9. Доказательство это мы разобьем на несколько шагов.

I. Сначала мы рассмотрим частный случай, когда линейный оператор , представляемый в некотором

базисе матрицей имеет только одно собственное значение а, т. е. когда его характеристический многочлен имеет вид

1. Введем некоторые обозначения.

Пусть х — собственный вектор оператора тогда или Обозначим оператор через Тогда Таким образом, оператор переводит в нуль, «аннулирует» каждый собственный вектор (и, не считая нуля, — только собственные векторы) оператора Обозначим через ядро оператора — оно состоит из всех собственных векторов оператора с добавлением нуля.

Далее, обозначим область значений оператора Подпространство инвариантно относительно так как (легко видеть, что

Так как — векторное пространство над полем комплексных чисел, то в (инвариантном) подпространстве (если найдется собственный вектор оператора Этот вектор, поскольку все собственные значения оператора равны а, аннулируется оператором — и значит, он принадлежит ядру оператора рассматриваемого в Но если ядро оператора имеет ненулевую размерность, то его область значений имеет размерность, меньшую размерности и значит, включение строгое.

Заметим, что совпадает с пересечением ибо состоит из всех тех и только тех векторов подпространства которые аннулируются оператором но из тех же векторов состоит и пересечение.

Продолжим это построение. Если подпространства и где уже определены, обозначим через ядро и через область значений оператора в подпространстве Если , то ядро имеет ненулевую размерность (ибо наше пространство — комплексное!), и значит, Пересечение же

Так мы получим (строго) убывающую цепочку подпространств

которая, поскольку размерности этих подпространств убывают, должна закончиться нулем. Пусть но

Поскольку то ядро оператора совпадает с Но из того, что вытекает, что

2. Теперь мы будем строить искомый базис пространства начиная с базиса подпространства , переходя последовательно от от постепенно дополним его до базиса всего пространства

Итак, выберем в подпространстве базис Перейдем к подпространству так как то мы можем дополнить базису, подпространства до базиса ядра Пусть — те векторы из которые оператором переводятся соответственно в векторы . Другими словами, — это прообразы векторов при Схематически:

Как видно из леммы (стр. 131), векторы

образуют базис подпространства (размерность которого, равна, следователььо,

Перейдем далее к подпространству . В пересечении уже построен базисах, Дополним эту систему векторов до базиса

ядра . С другой стороны, векторы

образуют базис подпространства . Пусть — те векторы (из которые оператором

переводятся соответственно в векторы векторы которые переводятся в векторы . Схематически это можно изобразить так:

По лемме векторы

образуют базис подпространства При этом очевидно, что

Это построение мы продолжаем до тех пор, пока не полудим базис всего пространства . В нем все векторы будут векторами нулевого слоя, (это — собственные выборы оператора все у — векторами первого слоя, — векторами второго слоя, и т. д.

Для ясности рассмотрим подробнее частный случай, когда Здесь базис пространства мы получим в виде

При этом при

Расположим теперь эти базисные векторы в порядке

Легко видеть, что в этом базисе матрица оператрра

приведется к жордановой форме:

Все невыписанные элементы матрицы равны нулю.

В общем случае доказательство завершается аналогично.

Легко видеть, что в матрице будет клеток порядка клеток порядка клеток порядка , наконец, клеток порядка 1. (Конечно, исключено, что для некоторых и тогда клетки соответствующих порядков будут отсутствовать.) Общее же число жордановых клеток равно

а размерность всего пространства равна

Числа это размерности подпространств — они равны соответственно рангам матриц Обозначив ранг матрицы через (и через ранг единичной матрицы

порядка т. е. полагая будем иметь

откуда так как Ранги матриц можно найти непосредственно, по ним определяются числа а значит и вид искомой жордановой матрицы I.

Прежде чем перейти к доказательству теоремы в общем случае, рассмотрим пример. Пусть оператор в некотором базисе имеет матрицу

Его характеристический многочлен

Собственное значение здесь одно, равное 2, кратности 3. Матрица оператора

Ясно, что и значит, здесь Так как жорданова форма нашей матрицы будет содержать одну жорданову клетку порядка 2 и одну - порядка 1, т. е. это будет матрица

Далее, если нам надо найти и новый базис, заметим, что . Следовательно, образ пространства — это одномерное подпространство Ядро оператора определяется уравнением (здесь и — координаты соответствующего вектора). Оно двумерно. Его базис образуют, например, векторы (1, 0, 0) и (1, 1, 1). При этом

В качестве «жорданова базиса» можно взять, следовательно, векторы (вектор дополняет базис до базиса прообраз вектора при преобразовании

Для контроля проделаем следующую выкладку. В нашем случае матрица С перехода от старого базиса к новому такова:

Вычислим произведение

— найденной выше жордановой матрице.

II. Перейдем теперь к доказательству теоремы 9 в общем случае.

1. Пусть — произвольный линейный оператор, действующий в пространстве размерности над полем комплексных чисел, а — одно из его собственных значений и — базис ядра оператора Дополним эту систему векторов до базиса

всего пространства . В базисе (19) матрица оператора имеет вид

Характеристический многочлен оператора очевидно, таков:

Рассмотрим образ пространства при преобразовании Так как ядро оператора в имеет размерность то размерность подпространства равна . За базис можно принять любые линейно независимых образов элементов исходного базиса при отображении т. е. любые линейно независимых векторов из (см. стр. 114), или, что то же самое, любые линейно Независимых столбцов матрицы Но матрица эта имеет вид

Так как первые столбцов этой матрицы — нулевые, то последние столбцов ее линейно независимы; следовательно, они и образуют искомый базис Обозначим векторы этого базиса через (таким образом, при

Найдем матрицу оператора в базисе пространства Для этого надо найти образы базисных векторов при действии оператора

А так как при при

и значит, матрицей оператора в подпространстве размерности (в базисе ) является клетка

Как видно из характеристический многочлен оператора равен где характеристический многочлен оператора в Он может все еще иметь корень, равный а, но кратность этого корня будет на единиц меньше, чем кратность того же корня для оператора в пространстве . В то же время ясно, что при переходе к подпространству все остальные собственные значения оператора не меняются и не изменяют Своих кратностей.

Если оператор имеет собственное значение, равное а, то точно так же, как выше, переходя к подпространству мы можем еще понизить кратность корня а, не меняя кратностей остальных собственных значений. Продолжая это построение, мы придем, в конце концов, к подпространству в котором оператор - совсем не имеет собственных значений, равных а. В этом случае дефект оператора в равен 0, и значит, ранг его равен размерности этого подпространства, т. е. оператор рассматриваемый в подпространстве является невырожденным. В этом случае ранг матрицы совпадает с рангом матрицы (см. стр. 116).

2. Предположим, что оператор имеет собственные значения с кратностями, соответственно равными Применяя надлежащее число раз описанный в прием, мы можем построить подпространство

В котором оператор совсем не имеет собственных значений, равных . В подпространстве оператора будет лишь одно собственное значение, равное причем онобудеттойже кратности что и у оператора в пространстве Конечно, подпространство инвариантно относительно так как

Оно инвариантно также и относительно каждого из операторов где

Размерность подпространства как видно из построения, равна кратности собственного значения

В подпространстве каждый из операторов является невырожденным и, следовательно, оператор как произведение невырожденных операторов тоже будет невырожденным, т. е. при всех . В то же время очевидно, что при

3. Покажем, что если - базис подпространства то векторов и для каждого отвечающие ему пробегают значения образуют базис пространства Так как число этих векторов равно размерности то нам достаточно доказать их линейную независимость.

Предположим, что какая-то линейная комбинация векторов обращается в нуль. Обозначая сумму всех тех из этих векторов, которые принадлежат через получим равенство

где, конечно, некоторые из слагаемых могут и обращаться в нуль. Применим к обеим частям оператор учитывая, что при подучим йуау Но так как оператор действующий в подпространстве -невырожденный то Таким образом, базисные векторы всех инвариантных относительно подпространств линейно независимы, и значит, они образуют базис всего пространства . В этом базисе матрица оператора А разобьется на клетки:

где это матрица оператора в подпространстве

Так как оператор в подпространстве имеет лишь одно собственное значение то, как показано в соответствующим выбором базиса в клетку можно привести к жордановой форме. Тем самым приведется к жордановой форме и матрица оператора во всем пространстве (см. замечание на стр. 118).

Рассмотрим пример. Пусть оператор в некотором базисе имеет матрицу

Его характеристический многочлен

Собственные значения оба кратности 2. При этом

Ранг матрицы равен 2; значит, существуют два линейно независимых собственных вектора, отвечающих собственному значению, равному 1. Легко видеть, что здесь и ранг матрицы равен 2.

Далее, имеем

Ранг матрицы равен 3, значит, существует лишь одномерное подпространство, отвечающее собственному значению, равному 2. Отсюда уже ясно, что искомой жордановой формой матрицы будет

Заметим, что ранги матриц и одинаковы и равны 2.