§ 8. Скалярное произведение на группе

В пространстве функций, заданных на группе порядка определим скалярное произведениеполагая

где суммирование распространяется на все элементы а группы Проверим, что при этом будут выполнены все аксиомы скалярного произведения:

При этом пространство функций, определенных на группе будет евклидовым, так как

и если , то для каждого и значит,

Рассмотрим еще несколько примеров. Выше (в § 1) мы нашли 3 представления диэдральной группы два одномерных и

и двумерное, назовем его

Рассмотрим шесть функций на группе и функции определенные следующим образом:

(см. скан)

(таким образом, — это соответствующие элементы матрицы Вычислим попарные скалярные произведения этих функций:

Аналогично получаем

Далее,

Аналогично,

Все рассматриваемые функции, таким образом, попарно ортогональны. Скалярные квадраты этих функций равны

и

— для одномерных представлений и

а также и для двумерных представлений. Всюду в знаменателе правой части стоит степень соответствующего представления. Ниже (в § 10) мы докажем аналогичные равенства для общего случая.