Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 7. Преобразования ЛоренцаИтак, мы вынуждены отказаться от предположения, что время — одно и то же во всех равномерно движущихся друг относительно друга системах отсчета. Мы уже не можем считать, что для одного и того же события Как же связаны между собой координаты.х, t точки в системе и координаты х, V ее в системе 5, движущейся относительно 5 равномерно со скоростью и? В классической механике эта связь линейна (преобразования Галилея). Мы сохраним это предположение о линейной зависимости от — тогда переходу от к будет отвечать переход к новому базису в пространстве событий. Какова же метрика этого пространства? Пусть в некоторый момент времени (начальный для обеих систем и их начала координат совпадают при Предположим, далее, что при из общего начала координат обеих систем пущен световой сигнал, принятый в системе в точке в момент а в системе — в точке х в момент времени Ввиду постоянства скорости света с
откуда Таким образом, если выражение
равно нулю в одной инерщальной системе отсчета, то оно обращается в нуль и во всех остальных. Мы сделаем теперь еще одно дополнительное предположение — о том, что выражение (11) вообще является инвариантом, т. е. что оно одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Положив (и соответственно мы можем наше пространство событий рассматривать как псевдоевклидову плоскость, в которой выражение (11), равное
является квадратом расстояния точки от начала координат, или, что то же самое, квадратор длины соответствующего вектора. Но базис, в котором квадрат длины вектора имеет такой вид, является ортонормированным (см. начало § 3). Ортонормированным будет по той же причине и соответствующий базис системы а значит, матрица А перехода от базиса системы к базису псевдоортогональна:
(причем в каждом из столбцов стоит какой-то один знак). Следовательно,
Рассмотрим сначала случай, когда оба знаменателя положительны, и матрица А имеет вид
Тогда координаты связаны соотношениями
или, в старых обозначениях,
Выражая отсюда и V через х и получим формулы
Каков физический смысл параметра Предположим, что в системе покоится точка пусть, например, это будет начало координат По первой из формул (13) для этой точки имеем
Но есть скорость точки М в системе равная, очевидно, скорости системы относительно 5. Следовательно,
Подставив это значение в формулы (12) и (13), получим
и
Преобразования (14) и (15) называются преобразованиями Лоренца. Заметим, что формулы (15) получаются из формул (14) простым изменением знака Мы предполагали, что в матрице перехода от базиса к базису все знаменатели пбложйтелыад. Покажем, как исключить остальные сличая Бели бы во втором столбце матрицы перехода стояли знаки минус (а в первом какие угодно), то мы получили бы формулы
и, например, при т. е. в начале координат системы увеличению V соответствовало бы уменьшение что невозможно, так как при этом последовательность всех событий в точке х системы была бы обратной последовательности тех же событий в системе Если же знаки минус стоят в первом столбце матрицы перехода (а во втором столбце стоят знаки плюс), то получаются формулы
от которых к формулам (14) можно перейти, изменив знак т. е. изменив на противоположное направление оси Таким образом, мы можем ограничиться исследованием преобразований Лоренца (14) и (15). Формулы Лоренца имеют смысл лишь при откуда следует, что т. е. что движение со скоростью, превыщающей скорость света, невозможно. Если мало по сравнению с , то , а тогда
Таким образом, при малом (по сравнению с ) преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея классической механики, Пусть координатные оси пространства событий системы и — оси системы (рис. 24). Как мы. знаем, оси и если изображать их на евклидовой плоскости, симметричны, друг другу относительно биссектрис и координатных углов первой системы. Ось можно рассматривать как график движения начала координат системы 5 относительно для всех ее точек Наоборот, ось это график движения начала координат системы относительно Тангенс угла наклона оси к по абсолютной величине равен
где — скорость движения системы относительно . А так как то тангенс этот по модулю больше единицы, и значит, все временные оси лежат внутри угла а следовательно, все пространственные оси внутри угла
Рис. 24. Для прямых и имеем во всех системах отсчета это — график движения со скоростью света.
|
1 |
Оглавление
|