§ 7. Преобразования Лоренца

Итак, мы вынуждены отказаться от предположения, что время — одно и то же во всех равномерно движущихся друг относительно друга системах отсчета. Мы уже не можем считать, что для одного и того же события Как же связаны между собой координаты.х, t точки в системе и координаты х, V ее в системе 5, движущейся относительно 5 равномерно со скоростью и? В классической механике эта связь линейна (преобразования Галилея). Мы сохраним это предположение о линейной зависимости от — тогда переходу от к будет отвечать переход к новому базису в пространстве событий. Какова же метрика этого пространства?

Пусть в некоторый момент времени (начальный для обеих систем и их начала координат совпадают при Предположим, далее, что при из общего начала координат обеих систем пущен световой сигнал, принятый в системе в точке в момент а в системе — в точке х в момент времени Ввиду постоянства скорости света с

откуда Таким образом, если выражение

равно нулю в одной инерщальной системе отсчета, то оно обращается в нуль и во всех остальных. Мы сделаем теперь еще одно дополнительное предположение — о том, что выражение (11) вообще является инвариантом, т. е. что оно одинаково во всех инерциальных системах отсчета.

Положив (и соответственно мы можем наше пространство событий рассматривать как псевдоевклидову плоскость, в которой выражение (11), равное

является квадратом расстояния точки от начала координат, или, что то же самое, квадратор длины соответствующего вектора. Но базис, в котором квадрат длины вектора имеет такой вид, является ортонормированным (см. начало § 3). Ортонормированным будет по той же причине и соответствующий базис системы а значит, матрица А перехода от базиса системы к базису псевдоортогональна:

(причем в каждом из столбцов стоит какой-то один знак).

Следовательно,

Рассмотрим сначала случай, когда оба знаменателя положительны, и матрица А имеет вид

Тогда координаты связаны соотношениями

или, в старых обозначениях,

Выражая отсюда и V через х и получим формулы

Каков физический смысл параметра Предположим, что в системе покоится точка пусть, например, это будет начало координат По первой из формул (13) для этой точки имеем

Но есть скорость точки М в системе равная, очевидно, скорости системы относительно 5. Следовательно,

Подставив это значение в формулы (12) и (13), получим

и

Преобразования (14) и (15) называются преобразованиями Лоренца. Заметим, что формулы (15) получаются из формул (14) простым изменением знака

Мы предполагали, что в матрице перехода от базиса к базису все знаменатели пбложйтелыад. Покажем, как исключить остальные сличая Бели бы во втором столбце матрицы перехода стояли знаки минус (а в первом какие угодно), то мы получили бы формулы

и, например, при т. е. в начале координат системы увеличению V соответствовало бы уменьшение что невозможно, так как при этом последовательность всех событий в точке х системы была бы обратной последовательности тех же событий в системе Если же знаки минус стоят в первом столбце матрицы перехода (а во втором столбце стоят знаки плюс), то получаются формулы

от которых к формулам (14) можно перейти, изменив знак т. е. изменив на противоположное направление оси

Таким образом, мы можем ограничиться исследованием преобразований Лоренца (14) и (15). Формулы

Лоренца имеют смысл лишь при откуда следует, что т. е. что движение со скоростью, превыщающей скорость света, невозможно.

Если мало по сравнению с , то , а тогда

Таким образом, при малом (по сравнению с ) преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея классической механики,

Пусть координатные оси пространства событий системы и — оси системы (рис. 24). Как мы. знаем, оси и если изображать их на евклидовой плоскости, симметричны, друг другу относительно биссектрис и координатных углов первой системы. Ось можно рассматривать как график движения начала координат системы 5 относительно для всех ее точек Наоборот, ось это график движения начала координат системы относительно Тангенс угла наклона оси к по абсолютной величине равен

где — скорость движения системы относительно . А так как то тангенс этот по модулю больше единицы, и значит, все временные оси лежат внутри угла а следовательно, все пространственные оси внутри угла

Рис. 24.

Для прямых и имеем во всех системах отсчета это — график движения со скоростью света.