§ 5. Число неприводимых представлений группы

Лемма. Пусть центральная функция, определенная на группе порядка и Г — неприводимое представление группы в пространстве размерности с характером Тогда линейный оператор

действующий в пространстве является гомотетией с коэффициентом гомотетии, равным

Доказательство. Для любого элемента группы имеем

(так как -центральная функция, то Но произведение где — фиксированный элемент группы а а пробегает все элементы группы, тоже пробегает (по одному разу) все элементы группы (произвольный элемент х группы, равен здесь Следовательно, последняя сумма равна

т. е. для любого

Из равенства вытекает, что Но тогда из второй части леммы Шура следует, что является гомотетией, т. е. что для некоторого

Для того чтобы найти X, вычислим след обеих частей этого равенства. В правой части получим

След левой части равен

Следовательно, и

Теорема 3. Центральная функция определенная на группе и ортогональная ко всем характерам неприводимых представлений этой группы, тождественно равна нулю.

Доказательство. Пусть - характеры всех неприводимых представлений группы Предположим, что для каждого Тогда для каждого неприводимогб представления группы

где О есть нулевой оператор. Покажем, что сумма Том случае, когда представление Г приводимо.

Действительно, пусть Г является суммой, например, двух (неприводимых) представлений Тогда в соответственно зыбранном базисе матрицы представления Г имеют вид

где - матрица представления в пространстве представления Но так как

то и

Аналогичное утверждение верно и для любого числа слагаемых, т. е. для любого представления Г группы и любой центральной функции ортогональной ко всем характерам неприводимых представлений этой группы, имеем

Пусть теперь — регулярное представление группы — все ее элементы — единичный элемент), — базисные векторы пространства представления Применим оператор (являющийся, по доказанному выше, нулевым оператором) к вектору Мы получим

Но так как векторы линейно независимы, то для всех и значит, для всех т. е. функция на группе тождественно равна нулю.

Теорема 4. Каждая центральная функция на группе является линейной комбинацией характеров неприводимых представлений этой группы.

Доказательство. Пусть У — пространство всех центральных функций, определенных на группе и — его подпространство, порожденное характерами всех неприводимых представлений, Тогда

пространство V равно прямой сумме подпространства и его ортогонального дополнения

Однако так как каждая центральная функция, ортогональная ко всем равна нулю. Следовательно, т. е. характеры неприводимых представлений группы образуют в пространстве всех определенных на ней центральных функций (ортонормированный) базис — каждая центральная функция является линейной комбинацией характеров.

Теорема 5. Число попарно неизоморфных неприводимых представлений группы равно числу классов сопряженных элементов этой группы.

По предыдущей теореме, размерность пространства всех центральных функций, определенных на группе равна числу неприводимых и неизоморфных между собой представлений этой группы. В то же время размерность пространства центральных функций равна числу классов сопряженных элементов группы (стр. 343), откуда и следует утверждение теоремы.

Окончательно мы имеем соотношение

где — порядок группы — степень неприводимого представления — число классов сопряженных элементов группы. Все являются делителями и по крайней мере одно из них равно 1.