Главная > Линейная алгебра и некоторые ее приложения
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 5. Число неприводимых представлений группы

Лемма. Пусть центральная функция, определенная на группе порядка и Г — неприводимое представление группы в пространстве размерности с характером Тогда линейный оператор

действующий в пространстве является гомотетией с коэффициентом гомотетии, равным

Доказательство. Для любого элемента группы имеем

(так как -центральная функция, то Но произведение где — фиксированный элемент группы а а пробегает все элементы группы, тоже пробегает (по одному разу) все элементы группы (произвольный элемент х группы, равен здесь Следовательно, последняя сумма равна

т. е. для любого

Из равенства вытекает, что Но тогда из второй части леммы Шура следует, что является гомотетией, т. е. что для некоторого

Для того чтобы найти X, вычислим след обеих частей этого равенства. В правой части получим

След левой части равен

Следовательно, и

Теорема 3. Центральная функция определенная на группе и ортогональная ко всем характерам неприводимых представлений этой группы, тождественно равна нулю.

Доказательство. Пусть - характеры всех неприводимых представлений группы Предположим, что для каждого Тогда для каждого неприводимогб представления группы

где О есть нулевой оператор. Покажем, что сумма Том случае, когда представление Г приводимо.

Действительно, пусть Г является суммой, например, двух (неприводимых) представлений Тогда в соответственно зыбранном базисе матрицы представления Г имеют вид

где - матрица представления в пространстве представления Но так как

то и

Аналогичное утверждение верно и для любого числа слагаемых, т. е. для любого представления Г группы и любой центральной функции ортогональной ко всем характерам неприводимых представлений этой группы, имеем

Пусть теперь — регулярное представление группы — все ее элементы — единичный элемент), — базисные векторы пространства представления Применим оператор (являющийся, по доказанному выше, нулевым оператором) к вектору Мы получим

Но так как векторы линейно независимы, то для всех и значит, для всех т. е. функция на группе тождественно равна нулю.

Теорема 4. Каждая центральная функция на группе является линейной комбинацией характеров неприводимых представлений этой группы.

Доказательство. Пусть У — пространство всех центральных функций, определенных на группе и — его подпространство, порожденное характерами всех неприводимых представлений, Тогда

пространство V равно прямой сумме подпространства и его ортогонального дополнения

Однако так как каждая центральная функция, ортогональная ко всем равна нулю. Следовательно, т. е. характеры неприводимых представлений группы образуют в пространстве всех определенных на ней центральных функций (ортонормированный) базис — каждая центральная функция является линейной комбинацией характеров.

Теорема 5. Число попарно неизоморфных неприводимых представлений группы равно числу классов сопряженных элементов этой группы.

По предыдущей теореме, размерность пространства всех центральных функций, определенных на группе равна числу неприводимых и неизоморфных между собой представлений этой группы. В то же время размерность пространства центральных функций равна числу классов сопряженных элементов группы (стр. 343), откуда и следует утверждение теоремы.

Окончательно мы имеем соотношение

где — порядок группы — степень неприводимого представления — число классов сопряженных элементов группы. Все являются делителями и по крайней мере одно из них равно 1.

1
Оглавление
email@scask.ru