§ 6. Билинейный функционал в комплексном векторном пространстве

Билинейный функционал в комплексном пространстве иногда задают определением 1; однако чаще используется следующее

Определение Г. Функция двух переменных, - заданная в комплексном векторном пространстве называется билинейным функционалом, если для всех из и любого (комплексного) числа а

(В дальнейшем мы будем относить определение 1 только к вещественному пространству, понимая под билинейным функционалом в комплексном пространстве функцию, удовлетворяющую условиям определения Г.)

Легко видеть, что в комплексном векторном пространстве билинейный функционал в координатах представляется билинейной формой

В частности, скалярное произведение представляется билинейной формой где в ортонормированном базисе

При переходе к новому базису с матрицей перехода билинейная форма преобразуется в где Если С — матрица, транспонированная к матрица, комплексно сопряженная к матрице С (все ее элементы являются комплексно-сопряженными к соответствующим элементам матрицы С), и то

Это можно показать, например, так: в обозначениях § 3 главы III и значит,

Билинейный функционал, а также соответствующая ему билинейная форма называются эрмитовыми, если при всех . В этом случае при всех , т. е. . Очевидно и обратное: если матрица А билинейной формы равна А, т. е. если при всех к то соответствующий билинейный функционал — эрмитов. Таким образом, для того чтобы билинейный функционал был эрмитовым, необходимо и достаточно, чтобы матрица соответствующей билинейной формы (в любом базисе) была эрмитовой (ср. стр. 172).

Пусть — эрмитов билинейный функционал. Положив мы получим эрмитов квадратичный

функционал . В этом случае при всех и значит, эрмитова квадратичная форма принимает только вещественные значения.

В комплексном векторном пространстве каждая эрмитова квадратичная форма в некотором базисе приводится к виду

где все вещественны (это нетрудно доказать, видоизменив соответствующим образом доказательство теоремы 1, см. стр. 191), причем если эрмитова квадратичная форма в двух разных базисах приведена к виду (6), то число положительных и число отрицательных квадратов в обоих случаях одно и то же. Наконец, определение положительно определенной эрмитовой формы и критерий Сильвестра без труда переносятся на комплексный случай.

Пусть теперь (комплексное) евклидово пространство. Аналогично вещественному случаю (см. лемму на стр. 199), можно показать, что матрица перехода С от одного ортонормированного базиса к другому, тоже ортонормированному, унитарна.

Пусть — ортонормированный базис в и пусть -эрмитов билинейный функционал, который в этом базисе представляется билинейной формой

где при всех

Рассмотрим линейный оператор с матрицей А, транспонированной по отношению к матрице А билинейной формы Так как эта форма эрмитова, то и оператор — эрмитов, а следовательно, его матрица, в некотором, тоже ортонормированном, базисе приводится к диагональному виду

причем все — вещественны (§ 3 главы V). Если С — матрица перехода к новому базису, то (§ 4

главы 111). А так как матрица перехода С унитарна, то и значит,

Далее, так как матрица В диагональная, то она совпадает со своей транспонированной: Но

С другой стороны, при переходе к базису матрица А билинейной формы тоже преобразуется в (см. стр. 202), и значит, в новом базисе она совпадает с матрицей Следовательно, в базисе билинейна форма имеет вид

где — собственные значения линейного оператора (а значит, и собственные значения оператора соответствующая квадратичная форма приведется при этом к сумме квадратов: