§ 4. Исследование общего уравнения поверхности второго порядка

В этом параграфе мы будем заниматься только приведением общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду.

Пусть в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве задано уравнение

Рассмотрим квадратичную форму от трех переменных:

В некотором, тоже ортонормированном базисе она приводится к сумме квадратов:

При этом уравнение (17) приводится к виду

Здесь возможны три случая:

I. Все отличны от нуля.

II. Одно из равно нулю.

III. Два из равны нулю.

Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно. Точно таким же образом, как и в случае кривой второго порядка, можно избавиться от членов первой степени:

Сделав подстановку

т. е. выполнив некоторый параллельный перенос осей координат, мы получим уравнение

Это — уравнение центральной поверхности второго порядка (новое начало координат является ее центром).

Будем считать, что с 0 (в противном случае умножим уравнение на —1). При возможны следующие случаи:

Если и все одного знака, получается точка («мнимый конус»); при разных знаков — конус.

II. Один из коэффициентов равен нулю; пусть, например, Тогда соответствующим переносом начала координат уравнение поверхности можно привести к виду

Здесь возможны случаи

При уравнение (18) имеет вид

Это — уравнение цилиндрической поверхности, вид которой определяется ее направляющей в плоскости (эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, пара пересекающихся плоскостей, одна прямая, или пара «мнимых плоскостей», пересекающихся по вещественной прямой, «пустое множество» точек, или «мнимый эллиптический цилиндр»).

При уравнение (18) приводится к виду

Если , это — эллиптический параболоид, при — гиперболический параболоид.

III. Среди чисел два равны нулю, пусть, например, Уравнение (17) приводится к виду

Если — это пара параллельных плоскостей, различных при совпадающих при и «мнимых» при

Наконец, если хотя бы один из коэффициентов уравнения (19) отличен от нуля, положим

что, как легко видеть, отвечает переходу к новому (тоже ортонормированному) базису с матрицей перехода

При этом уравнение (19) преобразуется в

а это последнее уравнение, так как посредством переноса начала координат преобразуется в

Это — параболический цилиндр.

Заметим без доказательства, что, как и в случае кривой второго порядка, прилтреобразовании уравнения поверхности второго порядка можно использовать инварианты. Здесь это будут

(с точностью до знаков — это коэффициенты характеристического

многочлена матрицы и определитель

Уравнение центральной поверхности приводится к виду

Определитель обращается в нуль в том и только в том случае, есла поверхность является ионической или цилиндрической (в частности, распадается на пару плоскостей — различных, совпадающих или «мнимых»).