§ 2. Изоморфные представления

Определение 2. Пусть — два представления группы в пространствах соответственно, причем размерности пространств одинаковы, т. е. пространства изоморфны (см. § 5 главы II). Представления называются изоморфными ((эквивалентными, подобными), если , где — изоморфное отображение пространства на (Ясно, что изоморфные представления имеют одинаковые степени.)

Равенство означает, что для любого элемента , а это, в свою очередь, означает, что для любого вектора

Поясним «геометрический смысл» последнего равенства. Пусть Тогда равенство (1) означает, что т. е. что если

(вектор соответствует вектору при изоморфном отображении пространства на то т. е. образы элементов х и у для любого тоже соответствуют друг другу при отображении

Иными словами, безразлично, отобразить ли сначала вектор посредством в пространство а потом применить к полученному вектору преобразование, соответствующее элементу или сделать это в обратном порядке; здесь выполняется следующая «коммутативная диаграмма»:

Изоморфное отображение пространства на может быть задано квадратной (невырожденной) матрицей Н. Тогда для каждогб соответствующие матрицы изоморфных представлений и связаны соотношением которое можно переписать в виде -

Это означает, что если пространство отождествить с (изоморфным ему) пространством и матрицу Н рассматривать как матрицу перехода к новому базису в этом пространстве, то - это матрицы

одного и того же оператора, взятые в разных базисах.

Задача. Покажите, что отображения и

являются представлениями диэдральной группы и проверьте, что эти представления изоморфны.