§ 2. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов

Теорема 1. Пусть -произвольная квадратичная формате n-мерном векторном пространстве. Тогда найдется такой базис, в котором эта форма приводится к сумме квадратов (т. е. в котором все коэффициенты при попарных произведениях координат вектора х равны нулю).

Доказательство проведем индукцией, по числу входящих в форму переменных. Если в входит лишь одна координата, скажем,

то наше утверждение очевидно. Предположим, что оно справедливо для всех квадратичных форм, зависящих от координат, и рассмотрим квадратичную форму, зависящую от переменных:

Если здесь есть хотя бы один квадрат с отличным от нуля коэффициентом, например, если то соберем все члены, содержащие

и «выделим полный квадрат»:

Тогда

где квадратичная форма зависит уже только от координат: Положим

Так как определитель

то этот переход к новым координатам вызывается переходом к некоторому новому базису — с матрицей перехода, обратной матрице определителя (см. § 6 главы II).

По предположению индукции, форму зависящую от переменных посредством перехода к новому базису можно привести к сумме квадратов. При этом окончательно приведется к сумме квадратов и форма

Мы предполагали, что хотя бы один из квадратов входит в форму с ненулевым коэффициентом. Если это не так, т. е. если все то допустим, что, например, и положим

— это соответствует переходу к новому базису

с матрицей перехода

(определитель этой матрицы равен При этом произведение обратится в и мы придем к первому случаю.

Мы доказали, что если в -мерном векторном пространстве задана произвольная квадратичная форма, то в можно найти такой базис, в котором эта форма приведется к сумме квадратов:

где координаты вектора х в новом базисе. Коэффициенты могут быть и положительными и отрицательными; некоторые из них могут быть равными нулю. Сделав еще одну подстановку если если приведем квадратичную форму к виду

где коэффициент перед каждым неизвестным равен или — 1, или, после изменения нумерации базисных векторов, — к виду

Пример. Квадратичную форму привести к сумме квадратов.

Решение,

где