§ 2. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов
Теорема 1. Пусть -произвольная квадратичная формате n-мерном векторном пространстве. Тогда найдется такой базис, в котором эта форма приводится к сумме квадратов (т. е. в котором все коэффициенты при попарных произведениях координат вектора х равны нулю).
Доказательство проведем индукцией, по числу входящих в форму переменных. Если в входит лишь одна координата, скажем,
то наше утверждение очевидно. Предположим, что оно справедливо для всех квадратичных форм, зависящих от координат, и рассмотрим квадратичную форму, зависящую от переменных:
Если здесь есть хотя бы один квадрат с отличным от нуля коэффициентом, например, если то соберем все члены, содержащие
и «выделим полный квадрат»:
Тогда
где квадратичная форма зависит уже только от координат: Положим
Так как определитель
то этот переход к новым координатам вызывается переходом к некоторому новому базису — с матрицей перехода, обратной матрице определителя (см. § 6 главы II).
По предположению индукции, форму зависящую от переменных посредством перехода к новому базису можно привести к сумме квадратов. При этом окончательно приведется к сумме квадратов и форма
Мы предполагали, что хотя бы один из квадратов входит в форму с ненулевым коэффициентом. Если это не так, т. е. если все то допустим, что, например, и положим