ГЛАВА VIIII. ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРАХ

В этой главе пространство предполагается вещественным.

§ 1. Примеры тензоров

Прежде чем дать общее определение тензора, рассмотрим несколько примеров.

1. Линейный функционал. Пусть — линейный функционал (§ 1 главы V) в -мерном векторном пространстве Выберем в базис и пусть

— произвольный вектор из (Номера координат мы условимся теперь писать сверху; целесообразность этого будет видна из дальнейшего.) Тогда

где .

Перейдем к новому базису и пусть новые базисные векторы получаются из старых по формулам

В матрице перехода

мы условимся теперь обозначать номер строки — верхним индексом, а номер столбца — нижним. Пусть в

новом базисе тогда

где

Таким образом, линейный функционал в каждом базисе определяется строкой из чисел причем при переходе к новому базису эти числа преобразуются по формулам (4), т. е. точно так же, как базисные векторы (2).

Примем теперь для сокращения записей следующее соглашение (правило Эйнштейна): если в каком-нибудь выражении один и тот же индекс, скажем встречается дважды, один раз наверху и один раз внизу, то имеется в виду, что по этому индексу производится суммирование (в пределах а знак суммы 2 в этом случае опускается. Так, например, по определению,

В этих обозначениях равенство (2) можно переписать так:

равенство (1) — так:

а равенство (4) — так:

Аналогично, если в одном и том же выражении имеются по две или более пар одинаковых индексов (каждый из которых стоит один раз наверху и один раз внизу), то мы также всегда будем считать, что по этим индексам производится суммирование, причем все эти

индексы независимо друг от друга пробегают значения Так, например,

2. Вектор. В заданном Вазисе каждый вектор х представляется строкой из чисел — его координат.

В новом базисе тот же вектор представляется другой строкой причем если (3) — матрица перехода от первого базиса ко второму, то, какбыло показано в § 6 главы 11,

Это — выражение старых координат через новые. Выразим отсюда новые координаты через старые Пусть — матрица, обратная матрице перехода С. Тогда равенство

равносильно тому, что

Положим

(так называемый символ Кронекера). Тогда

Умножив обе части равенства (5) на (и, естественно, суммируя по мы получим

(так как при , или

Таким образом, новые координаты вектора х получаются из старых его координат х с помощью матрицы обратной матрице перехода С, причем

коэффициенты разложений по х образуют строки матрицы

В двух рассмотренных примерах (линейный функционал, вектор) есть нечто общее, позволяющее заключить их в рамки общего определения. И линейный функционал, и вектор в каждом базисе определяются числами, соответственно причем при переходе к новому базису эти числа преобразуются линейно — с матрицей С, т. е. также, как базисные векторы, в случае линейного функционала, и с матрицей обратной матрице С — в случае вектора. Коэффициенты линейной формы (так же, как координаты вектора) представляют собой пример тензора, если назвать тензором заданную в каждом базисе систему чисел, линейно преобразующихся при переходе от одного базиса к другому. Точное определение этого понятия будет дано ниже; пока же мы только еще добавим, что оба рассмотренных тензора являются одновалентными, так как определяются системами чисел или зависящими от одного индекса. Коэффициенты линейной формы при переходе к новому базису, преобразующиеся так же, как базисные векторы, образуют тензор ковариантный, т. е. «сопреобразующийся» - преобразующийся одинаково с базисными векторами. Координаты вектора — пример контравариантного, т. е. «противопреобразующегося» тензора.

Рассмотрим еще три примера.

3. Билинейный функционал. Пусть в -мерном векторном пространстве задан билинёйный функционал (§ 1 главы VI). Тогда, если — произвольные векторы из то

где в заданном базисе билинейный функционал представляется билинейной формой (по и по суммирование!) от координат векторов х и у с коэффициентами (ср. стр. 188)

Перейдем к новому базису с матрицей перехода (3). Тогда, если

где

Таким образом, билинейный функционал в каждом базисе определяется системой из чисел зависящих от двух индексов, причем при переходе к новому базису эти числа преобразуются по закону (7), т. е. по каждому из этих двух индексов так же, как базисные векторы. Это — пример тензора валентности два (зависящего от двух индексов), ковариантного по обоим индексам (дважды ковариантного).

4. Линейный оператор. Каждый линейный оператор в -мерном векторном пространстве в заданном базисе представляется матрицей (здесь опять верхний индекс — номер строки, нижний — номер столбца). При переходе к новому базису с матрицей перехода С эта матрица А преобразуется в (§ 4 главы III). Вспомним, как выражаются элементы матрицы через элементы матрицы А. В матрице элемент строки и столбца равен . В матрице элемент строки и столбца — это т. е.

Таким образом, линейный оператор в каждом базисе определяется системой из чисел занумерованных двумя индексами, нижним и верхним, причем при переходе к новому базису эти числа преобразуются по формуле (8) — по нижнему индексу, так же как базисные векторы, а по верхнему — с обратной матрицей, «контравариантно» базисным векторам. Это — еще один пример тензора валентности два (зависящего от двух индексов), в этом случае один раз ковариантного и один раз контравариантного (смешанный двухвалентный тензор).

5. Символ Кронекера. Рассмотрим смешанный двухвалентный тензор, координаты которого в некотором

фиксированном базисе определяются равенствами

(см. стр. 227).

В новом базисе имеем

Таким образом, координаты тензора одинаковы? во всех системах координат. (Это можно объяснить тем, что в первоначальном базисе элементы составляют единичную матрицу, и значит, соответствующий тензор определяет тождественное преобразование, матрица которого — одна и та же во всех базисах).