§ 10. Следствия из леммы Шура

Вспомогательное предложение. Пусть и — произвольные представления группы в пространствах — произвольное линейное отображение Тогда

являющееся, как легко видеть, линейным отображением удовлетворяет условию

т. е. для каждого элемента b группы G

или, что то же самое,

Доказательство. Мы имеем

Но если а пробегает все элементы (конечной!) группы

фиксированный элемент этой группы, то произведение тоже пробегает все элементы группы только, вообще говоря, в каком-то другом порядке. Следовательно,

Мы доказали, что

где — любой элемент группы

Следствие из I-й части леммы Шура. Пусть — неприводимые неизоморфные представления группы в пространствах — произвольное (линейное) отображение Предположим, что в пространствах выбраны ортонормированные базисы, и пусть в этих базисах элементы матриц операторов и отображения будут соответственно и Мы видели, что отображение

пространства удовлетворяет условию

Тогда, по I-й части леммы Щура, поскольку представления не изоморфны,

Элемедт стоящий на пересечении строки и столбца матрицы равен

(здесь суммирование ведется от и по от 1 до где размерность пространства и он равен нулю при любом отображении т. е. при любых Следовательно, коэффициент при в правой части последнего равенства равен нулю при всех

(Легко видеть, что если сумма равна нулю при подстановке любых значений то все ее коэффициенты равны нулю. Действительно, положив, например, а все остальные мы получим, что и значит, Но выше мы условились (см. стр. 335), что все рассматриваемые операторы унитарны. Следовательно, Так как базис в пространстве ортонормированный, то элементы матрицы оператора удовлетворяют условиям: при Таким образом, при всех

Если матричные элементы рассматривать как функции, заданные на группе то последнее равенство означает, что скалярное произведение любых двух таких функций, взятых для неизоморфных неприводимых представлений, равно нулю: 1

т. е. что эти функции попарно ортогональны. Так, в примерах, приведенных в § 8, функции ортогональны функциям а также ортогональна (см. равенства (3) на стр. 345).

Полезно заметить, что поскольку для каждой группы имеется единичное представление для всех то, если -элементы матрицы произвольного (неприводимого) неединйчного представления этой группы, то

т. е. для любых сумма всех значений функции равна нулю.

Следствие из 11-й части леммы Шура. Пусть Г — неприводимое представление группы в (n-мерном) пространстве и - произвольный линейный оператор в Тогда, как было показано выше (вспомогательное

предложение для случая линейный оператор

в пространстве удовлетворяет условию и значит (по лемме Шура, часть II), — гомотетия:

Элемент, стоящий на пересечении строки и столбца матрицы , равен

Элемент, стоящий на соответствующем месте в матрице равен где

Найдем значение X. Для этого вычислим след обеих частей равенства (6). След правой части равен . След левой части равен

(см. стр. 127; здесь — порядок группы и так как

Мы нашли, что и. значит, элемент, стоящий на пересечении строки и столбца матрицы равен Таким образом, мы

имеем

причем это равенство справедливо при Следовательно, при всех

(Если равенство выполняется при подстановке любых значений то тоже при любых и значит, при всех и — см. замечание в скобках на стр. 351.) Пользуясь унитарностью оператора равенство (7) можно переписать еще и так:

или

и значит,

(ср. с равенствами (4), (5), на стр. 346).