§ 9. Заключение

Правильным многогранником называется такой (выпуклый) многогранник, все грани которого — равные между собой правильные многоугольники и все многогранные углы которого равны между собой.

Рис. 37.

Еще в древности было известно, что существует всего пять правильных многогранников: правильный тетраэдру ограниченный четырьмя правильными треугольными гранями, и имеющий 6 ребер и 4 вершины; куб (или правильный гексаэдр), ограниченный шестью квадратными гранями и имеющий 12 ребер и 8 вершин; правильный октаэдр, ограниченный восемью треугольными гранями и имеющий 12 ребер и 6 вершин (рис. 37, а); правильный додекаэдр, ограниченный двенадцатью пятиугольными гранями и имеющий 30 ребер и 20 вершин (рис. 37, б); и, наконец, правильный икосаэдр,

ограниченный двадцатью треугольными гранями и имеющий 30 ребер и 12 вершин (рис. 37, в).

Куб и правильный октаэдр в определенном смысле двойственны друг другу, если соединить центры граней куба, как указано на рис. 38, а, то получится правильный октаэдр, и, наоборот, если соединить центры граней октаэдра, то получится куб (рис. 38, б).

Рис. 38.

Поэтому группа вращений октаэдра изоморфна группе вращений куба (и обозначается эта группа буквой О), а группа симметрии октаэдра — группе симметрии куба О.

В описанном смысле правильный тетраэдр двойствен сам себе (рис. 38, в); правильные же додекаэдр и икосаэдр двойственны друг другу, и их группы вращений изоморфны — обозначается эта группа буквой I, Она состоит из 60 элементов и изоморфна знакопеременной подгруппе симметрической группы пятой степени.

Группа симметрии додекаэдра (икосаэдра) состоит элементов и является прямым произведением группы I и циклической группы второго порядка.

Кроме перечисленных пяти правильных многогранников, в пространстве существует еще «вырожденный правильный многогранник» — правильный многоугольник, который можно рассматривать как многогранник, сострящий из двух равных правильных -угольников (двугранник). Циклическая группа есть группа вращений правильного -угольника, т. е. вырожденного правильного многогранника в содержащей его плоскости, а диэдральная группа — это группа его вращений в пространстве,

Существует такая общая теорему: Циклические группы диэдралъные группы группа вращений тетраэдра Г, октаэдра [куба) О и икосаэдра (додекаэдра) I — это все конечные подгруппы группы вращений трехмерного пространства вокруг неподвижной точки. Это, — пишет Г. Вейлъ, — и есть современный эквивалент того перечня правильных многогранников, который дали древние греки».

Полный список всех конечных подгрупп группы ортогональных преобразований содержит, кроме определенных выше групп симметрии многогранников, еще несколько отдельных групп и серий групп; в этой книге они не рассматриваются.