§ 7. Функции, определенные на группе

Пусть — произвольная (конечная) группа; предположим, что каждому элементу а группы поставлено в соответствие какое-то, вообще говоря, комплексное число Мы будем говорить тогда, что на группе задана функция

Если естественным образом определить сложение функций:

и умножение функции на число:

то очевидно, что множество всех комплексно-значны (т. е. принимающих комплексные значения) функций, определенных на группе станет векторный пространством. Покажем, что если порядок группы. равен то это пространство -мерно. Действительно, пусть элементы группы будут рассмотрим функций где определяемых следующим образом:

Легко видеть, что эти функций линейно независимый что каждая функция, определенная на группе является их линейной комбинацией. В самом деле, если произвольная функция на группе , скажем, то, очевидно,

Определение 7. Функция определенная на группе называется Центральной, если для любых двух элементов

Пусть — центральная функция на группе Тогда для любых имеем

Обратно, пусть для всех имеет место равенство Полагая (откуда ), получим

Итак, если равенство выполняется тождественно для всех элементов группы то тождественно выполняется и равенство и наоборот. Следовательно, функция на группе в том и только в том случае является центральной, если она принимает равные значения на всех сопряженных между собой элементах группы. Можно сказать поэтому, что

центральная функция определена на классах сопряженных элементов группы.

Множество всех центральных функций является подпространством пространства функций, определенных на группе так как сумма центральных функций и произведение центральной функции на число тоже являются, очевидно, центральными функциями.

Теорема 3. Размерность пространства центральных функций, определенных на группе равна числу классов сопряженных элементов этой группы.

Доказательство. Пусть — все классы сопряженных элементов группы Если - произвольная центральная функция на группе то она может рассматриваться как функция, определенная на этих классах, т. е. функция, ставящая в соответствие каждому классу определенное число

Рассмотрим (центральных) функций где

Функции очевидно, линейно независимы, и каждая центральная функция является их линейной комбинацией: если - произвольная центральная функция на и то

Значит, размерность пространства центральных функций, определенных на группе равна числу классов сопряженных элементов этой группы.

Выше мы видели, что если Г — одномерное представление группы то для любых поэтому одномерные представления любой группы являются определенными на ней центральными функциями. Так, для группы на стр. 328 мы нашли две определенные на ней центральные функции тождественно равна 1 и