§ 2. Сопряженные элементы в группе вращений трехмерного пространства

Как известно, осью называют прямую, на которой задано определенное направление, или направленную прямую. Ось, проходящую через начало координат, можно задать некоторым вектором. Говоря о повороте вокруг оси на угол имеют в виду поворот в положительном направлении, т. е. против часовой стрелки, если смотреть с положительного направления оси

Пусть сначала произвольная группа линейных преобразований трехмерного векторного пространства и Элемент сопряжен с в группе если найдется такое что (и значит, Выясним геометрический смысл понятия сопряженности. Для этого вернемся к равенству (4) на стр. 113. При оно принимает вид

и его можно интерпретировать следующим образом: преобразование базисе имеет ту же матрицу, что преобразование в базисе

получающемся из базиса посредством преобразования

Пусть теперь — группа вращений (трехмерного) пространства. Тогда если — поворот вокруг оси

определяемой вектором х (короче, поворот вокруг оси на угол то сопряженный поворот это поворот вокруг оси на тот же самый угол Оси где называются эквивалентными (относительно группы

Таким, образом, сопряженные повороты в группе вращений трехмерного евклидова пространства — это повороты вокруг эквивалентных осей на один и тот же угол.

Обратно, если есть поворот вокруг некоторой оси — поворот вокруг эквивалентной оси х на один и тот же угол то повороты сопряжены между собой, так как в этом случае