§ 13. Тензорное произведение линейных операторов

Пусть имеются два пространства: размерности размерности и пусть — их тензорное произведение. Предположим, что в пространстве

задан линейный оператор двухвалентный смешанный тензор при переходе к новому базису преобразующийся по формуле а в пространстве линейный оператор такой же тензор преобразующийся по формуле матрица перехода к новому базису в пространстве матрица перехода в пространстве

Рассмотрим кронекеровское произведение (где А — матрица оператора в новом базисе пространства а В — матрица оператора в новом базисе пространства и покажем, что элементы этой матрицы Получаются из элементов матрицы по правилу преобразования тензора один раз ко- и один раз контравариантного. Действительно, имеем

(Здесь — элементы матрицы перехода к новому базису в пространстве — элементы обратной матрицы, а суммирование ведется по парам индексов и )

Мы показали, что кронекеровское произведение матриц при переходе к новому базису преобразуется как смешанный двухвалентный тензор, а значит, оно определяет линейный оператор, действующий в пространстве Этот оператор, обозначаемый через называется тензорным (или кронекеровским) произведением операторов и . На базисные векторы пространства он действует так:

(Заметьте, что правая часть формально является произведением сумм

Итак, тензорное произведение линейных операторов не зависит от выбора базисов в пространствах По доказанному в конце § 11 след кронекеровского произведения линейных операторов, равен произведению следов сомножителей.

Докажем теперь тождество

где А и В — любые матрицы порядка , а — матрицы порядка . Пусть в каких-то фиксированных базисах пространств элементы каждой из матриц обозначены теми же буквами латинского алфавита, что и сами матрицы, но не прописными, а строчными. Тогда (т. е. стоящий на пересечении строки и столбца) элемент матрицы — это свертка а элемент матрицы равен . Следовательно, элементы тензорного произведения это

В правой части стоит свертка произведения матриц паре индексов т. е. элементы обычного матричного произведения . Формула (3) доказана.