задан линейный оператор 
двухвалентный смешанный тензор 
при переходе к новому базису преобразующийся по формуле 
а в пространстве 
линейный оператор 
такой же тензор преобразующийся по формуле 
матрица перехода к новому базису в пространстве 
матрица перехода в пространстве 
Рассмотрим кронекеровское произведение 
(где А — матрица оператора 
в новом базисе пространства 
а В — матрица оператора в новом базисе пространства 
и покажем, что элементы этой матрицы Получаются из элементов матрицы 
по правилу преобразования тензора один раз ко- и один раз контравариантного. Действительно, имеем
(Здесь 
— элементы матрицы перехода к новому базису в пространстве 
— элементы обратной матрицы, а суммирование ведется по парам индексов 
и 
)
Мы показали, что кронекеровское произведение матриц при переходе к новому базису преобразуется как смешанный двухвалентный тензор, а значит, оно определяет линейный оператор, действующий в пространстве 
Этот оператор, обозначаемый через 
называется тензорным (или кронекеровским) произведением операторов 
и 
. На базисные векторы пространства 
он действует так:
(Заметьте, что правая часть формально является произведением сумм 
Итак, тензорное произведение линейных операторов не зависит от выбора базисов в пространствах 
По доказанному в конце § 11 след кронекеровского произведения линейных операторов, равен произведению следов сомножителей.
размерности 
размерности 
и пусть 
— их тензорное произведение. Предположим, что в пространстве 
, а 
— матрицы порядка 
. Пусть в каких-то фиксированных базисах пространств 
элементы каждой из матриц обозначены теми же буквами латинского алфавита, что и сами матрицы, но не прописными, а строчными. Тогда 
(т. е. стоящий на пересечении 
строки и 
столбца) элемент матрицы 
— это свертка 
а 
элемент матрицы 
равен 
. Следовательно, элементы тензорного произведения 
это
паре индексов 
т. е. элементы обычного матричного произведения 
. Формула (3) доказана.
