ГЛАВА III. ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

§ 1. Определение и примеры

Определение 1. Говорят, что в векторном пространстве задан оператор, или преобразование, если каждому вектору поставлен в соответствие определенный вектор или; как мы чаще будем писать,

Оператор (преобразование) А называется линейным, если для любых двух векторов х и у из и произвольного числа

Вектор называется образом вектора x, а вектор x — прообразом вектора при преобразовании

Выберем в пространстве базис ей Тогда если то в силу линейности оператора имеем

Но так как - это тоже вектор из то можно разложить по базису пусть

Тогда

Если — координаты вектора в том же базисе т. е. если

то, ввиду единственности разложения вектора по базису, имеем

Таким образом, каждому линейному оператору в данном базисе отвечает матрица

столбец которой образован коэффициентами разложения вектора по базису при этом коэффициенты разложений (1) координат вектора по координатам вектора х образуют строки матрицы А.

Если в -мерном векторном пространстве задан базис, то не только каждому линейному оператору отвечает определенная матрица А, но и, обратно, каждая квадратная матрица А порядка может рассматриваться как матрица некоторого линейного оператора.

Действительно, пусть базис пространства и пусть дана матрица порядка (мы будем писать короче: Обозначим через оператор, переводящий произвольный вектор в вектор где при

Покажем, что этот оператор—линейный. В самом деле, произвольный другой вектор Упвп он переводит в где вектор

в вектор где Поэтому

Далее, для любого имеем где Следовательно,

и оператор — линейный.

Таким образом, если в векторном пространстве задан базис, то каждому линейному оператору отвечает Определенная квадратная матрица порядка , обратно, каждой такой матрице отвечает определенный линейный оператор. Поэтому линейный оператор и соответствующую ему (в данном базисе) матрицу мы будем обозначать одной и той же буквой: — линейные операторы, — соответствующие им матрицы. Матрица А называется матрицей линейного оператора

Легко видеть, что для всякого линейного оператора

При этом, если только при то оператор называется невырожденным; если же найдется такой вектор что то оператор — вырожденный.

Пусть — матрица линейного оператора Рассмотрим систему линейных однородных уравнений

Ввиду теоремы 10 из главы I, для существования ненулевого решения этой системы (и значит, для существования ненулевого вектора хпеп такого, что необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А (обозначим его через был равен нулю. Следовательно, для того чтобы оператор был невырожденным, необходимо и достаточно, чтобы

определитель матрицы А этого оператора (в любом базисе) был отличен от нуля. Матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной матрицей.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Пусть — поворот всех векторов обычной плоскости (короче — поворот плоскости вокруг начала координат на угол против часовой стрелки. Это преобразование линейно, ибо безразлично, сначала ли сложить векторы а потом повернуть их сумму, на угол или сначала повернуть векторы, а потом их сложить (рис. 8); так же безразлично, умножить ли сначала вектор а на число затем повернуть его на угол или сделать это в обратном порядке (рис. 9).

Рис. 8.

Рис. 9.

Предположим, что базисные векторы — единичные и взаимно ортогональные. Вектор — единичный вектор, образующий угол и угол

Следовательно,

Единичный вектор образует с угол — угол

Следовательйо,

Таким образом,

2. Пусть — поворот обычного трехмерного пространства на угол вокруг оси Если — единичные векторы прямоугольной декартовой системы координат, то

и значит, матрица этого преобразования

3. В обычном трехмерном пространстве пусть будет ортогональной проекцией вектора а на плоскость Линейность этого преобразования вытекает из того, что проекция суммы векторов равна сумме проекций слагаемых и что проекция произведения вектора на число равна произведению проекции вектора на это число. Если базис выбран так, как в примере 2, то очевидно, что

и следовательно,

4. В обычном трехмерном пространстве пусть будет вектор, симметричный с вектором а относительно плоскости Линейность этого преобразования очевидна. При этом

и матрица преобразования имеет вид?

5. В пространстве многочленов от степени не выше положим

Линейность этого «оператора дифференцирования» вытекает из основных правил дифференциального исчисления. Чтобы найти его матрицу, выберем в качестве бази например, векторы

Тогда

и

6. Обозначим через 8 так называемый тождественный оператор, определяемый равенством: для любого Тогда для всех и следовательно, матрица оператора в любом базисе имеет вид

7. Обозначим через О так называемый нулевой оператор, определяемый равенством для всех Матрица этого оператора, состоит из одних нулей.

Ясно, что операторы 1, 2, 4 и 6 — невырожденные, а операторы 3, 5 и вырожденные.

Теорема 1. При линейном преобразовании векторного пространства каждое подпространство переходит в подпространство.

Доказательство. Пусть подпространство векторного пространства Обозначим через множество всех векторов, являющихся образами векторов из при линейном преобразовании Нам надо доказать, что подпространство. Пусть векторы х и у принадлежат Это значит, что где Но тогда

так как и при любом

так как Таким образом, — подпространство.

(Легко понять, что размерность не превышает размерности

Теорема 2. При линейном преобразовании векторного пространства каждое линейное многообразие переходит в линейное многообразие.

Доказательство. Пусть М — линейное многообразие в Тогда существует такое подпространство и такой вектор а, что а (см. выше стр. 78). Если — линейный оператор, то Ввиду теоремы является линейным подпространством и, значит, — линейное многообразие (см. стр. 79).

Пусть А — -мерное аффинное пространство и соответствующее ему векторное пространство, в котором задан линейный оператор Этот оператор ожно следующим образом распространить и на точки из Предположим, что в А выбрана система координат. Тогда, если вектор при преобразовании переходит в , то, по определению, точка (конец вектора ) переходит в (конец вектора ).

Из теоремы 2 непосредственно вытекает, что при линейном преобразовании аффинного пространства -мерная плоскость переходит в плоскость (не большей размерности). В частности, прямые переходят в прямые или в точки.