§ 9. Лемма Шура

Лемма Шура состоит из двух частей с «Прологом» и «Эпилогом».

Пролог леммы Шура. Пусть — два линейных представления группы в пространствах соответственно и — линейное отображение

пространства . В отличие от отображения, фигурирующего в не предполагается взаимно однозначным; точнее говоря, каждому вектору поставлен в соответствие определенный вектор так что

но не предполагается, что каждый вектор из является образом хотя бы одного вектора из и что из равенства вытекает

Предположим, далее, что т. е. что для каждогоэлемента , значит, для каждого вектора Последнее означает, что безразлично, сначала ли применить к вектору х оператор , соответствующий элементу а группы а затем отобразить полученный вектор или сначала отобразить , а потом к полученному вектору применить оператор , соответствующий тому же элементу (см. «Коммутативную диаграмму» на стр. 331).

Докажем, что в нашем предположении образ пространства (т. е. совокупность всевозможных векторов вида где и ядро отображения (образованное всеми такими векторами что являются подпространствами, инвариантными относительно группы

То, что являются подпространствами, доказывается совсем просто (ср. стр. 115). Докажем инвариантность этих подпространств.

1. Инвариантность . Пусть тогда где Нам надо показать, что вектор тоже принадлежит Но так как то

и значит,

2. Инвариантность Пусть Нам надо показать, что и Но так как

и значит,

Таким образом, подпространства инвариантны относительно группы

Лемма Шура, часть I. Если в сформулированных выше условиях представления группы в пространствах и — линейное отображение пространства такое, что представления неприводимы, то

либо

либо представления и изоморфны.

Доказательство. Так как представления и неприводимы, то ни ни не могут содержать нетривиальных подпространств, инвариантных относительно группы Однако образ пространства является в инвариантным подпространством; следовательно, либо либо Но если то отображает все в нуль, - и значит, Если же то отображает пространство R на все (т. е. каждый элемент из будет образом хотя бы одного элемента из

Далее, ядро отображения является в инвариантным подпространством, и значит либо либо Если то все пространство отображается в нулевой вектор, и значит, Если же то отображение взаимно однозначно. Действительно, из равенства вытекает, что откуда следует, что и значит,

Итак, если , то взаимно однозначно отображает пространство на все Так как, кроме того, это отображение линейное, то оно будет изоморфным отображением на . В силу равенства представления изоморфны.

Лемма Шура, часть II. Пусть Г — неприводимое представление группы в пространстве и — такой линейный оператор в пространстве что тогда является гомотетией (т. е. существует такое число К, что

Доказательство. Пусть К — одно из собственных значений оператора — соответствующий собственный вектор. Тогда

Из равенства вытекает, что

Как доказано в «Прологе» (если применить его к оператору при ядро оператора инвариантно относительно группы а так как представление Г неприводимо, то либо либо Однако равенство невозможно, поскольку ненулевой вектор х принадлежит Следовательно, т. е. все пространство оператором отображается в нулевой вектор, откуда