§ 7. Фактор-группа

Пусть произвольная группа, нормальная подгруппа и — множество всевозможных смежных класов группы по подгруппе А (напоминаем, что левые и правые смежные классы в этом случае совпадают). В множестве классов введем операцию умножения, полагая

Так как подгруппа А является нормальной, то произведение не зависит от выбора представителей х и у в перемножаемых классах.

Проверим, что у нас получилась группа.

1. Ассоциативность умножения классов вытекает из ассоциативности умножения в группе

2. Единичным элементом служит сама подгруппа А:

3. Обратным к классу будет класс , так как

Полученная группа обозначается черезш и называется фактор-группой группы по нормальной подгруппе А.

Фактор-группа коммутативной группы коммутативна, так как в этом случае для любых двух классов

Порядок фактор-группы конечной группы равен индексу нормальной подгруппы в группе и значит, является делителем порядка группы

Фактор-группа симметрической группы по ее подгруппе состоит из двух элементов и является, следовательно, циклической группой второго порядка.

Праймер. Покажем, что в группе всех невырожденных матриц порядка (например, с вещественными элементами) подгруппа А унимодулярных матриц (т. е. матриц с определителем, равным 1) является нормальной подгруппой, и найдем фактор-группу

Унимодулярные матрицы образуют подгруппу в так как произведение двух унимодулярных матриц и матрица, обратная унимо-дулярной, являются унимодулярными (теорема 3 главы III).

Далее, подгруппа А унимодулярных матриц является нормальной, так как если матрица , значит, то для любой матрицы

и

Найдем фактор-группу Покажем прежде всего, что для того, чтобы две матрицы бис принадлежали одному и тому же смежному классу группы по подгруппе , необходимо и достаточно, чтобы они имели равные определители. Действительно если где , значит, то

Обратно, если то где и, значит, с.

Таким образом, каждый смежный класс по А вполне характеризуется определителем входящих в него матриц. Перемножению классов отвечает перемножение произвольных представителей из них, и, значит, произведение классов В (матриц с определителем и С (матриц с определителем есть класс — матриц с определителем Следовательно, фактор-группа изоморфна мультиплитивнои группе отличных от нуля вещественных чисел.