§ 3. Прямоугольные матрицы

Матрица, состоящая из строк и столбцов, называется -матрицей. Можно определить сложение -матриц, полагая

и умножение -матрицы на число — равенством

Легко видеть, что относительно этих операций сложения и умножения на число -матрицы (в частности, квадратные матрицы порядка ) с элементами из поля сами образуют векторное пространство над полем Обозначим -матрицу, у которой

элемент I-й строки и столбца равен 1, а все остальные элементы равны нулю, через ей. Тогда ясно, что эти матрицы ей, где линейно независимы и что каждая -матрица является их линейной комбинацией. Следовательно, размерность пространства -матриц равна . В частности, пространство всех квадратных матриц порядка имеет размерность

Прямоугольную матрицу можно рассматривать как матрицу линейного оператора, отображающего одно векторное пространство в другое. А именно, пусть имеются два векторных пространства вообще говоря, разных размерностей но над одним и тем же числовым полем предположим, что каждому вектору поставлен в соответствие вектор так, что выполнены следующие условия:

Мы говорим тогда, что есть линейный оператор, отображающий пространство. или линейное отображение

Выберем в пространстве базис а в пространстве базис Вектор где принадлежит и следовательно, его можно разложить по базису пусть

Таким образом, линейному оператору отображающему пространство соответствует прямоугольная матрица

столбцы которой образованы коэффициентами разложений векторов по векторам

По аналогии с умножением квадратных частиц можно определить и умножение прямоугольных

матриц. Такое умножение выполнимо только в том случае, если длина строки левого множителя равна не столбца правого, т. е. когда число столбцов левого множителя равно числу строк правого. Произведение -матрицы на -матрицу будет, очевидно, -матрицей. В частности, произведение матрицы на -матрицу, т. е. на столбец, будет -матрицей, т. е. столбцом, а произведение -матрицы, т. е. строки, на -матрицу -матрицей, т. е. строкой.

Примеры

Нетрудно понять «геометрический смысл» операции умножения прямоугольных матриц. Пусть имеются три векторных пространства, вообще говоря, разных размерностей: и пусть даны два линейных оператора: отображающий и отображающий Оператор ставящий в соответствие каждому вектору вектор пространства называется произведением операторов и Легко видеть, что является линейным оператором, отображающим и что если оператору отвечает -матрица А, а оператору -матрица В, то матрицей оператора будет -матрица и для квадратных матриц, умножение прямоугольных матриц ассоциативно: и дистрибутивно относительно сложения: разумеется, если матрицы таковы, что все эти действия над ними выполнимы, Кроме того, если А — произвольная

-матрица, то где - единичная матрица порядка

Рассмотрим снова систему линейных уравнений

Обозначим через А матрицу из коэффициентов при неизвестных этой системы, через X — столбец, составленный из неизвестных, и через В — столбец, составленный из правых частей. Тогда систему (3) можно записать в виде одного матричного уравнения

Если матрица А квадратная и ее определитель - отличен от нуля, то существует обратная к ней матрица Умножая обе части последнего равенства слева на получим

В более подробной записи это — формулы Крамера (ср. выше, стр. 33).

Если — линейный оператор в пространстве

— его матрица в некотором базисе в котором формулы (1) из § 1 можно записать в виде одного матричного уравнения

где X — столбец из координат вектора столбец из координат вектора

Наконец, если С — матрица перехода от базиса к (новому) базису то

где — столбец старых, — столбец новых координат вектора х (см. формулы в § 6 главы II). Из последней формулы непосредственно вытекает равенство: т. е. что новые координаты получаются из старых с помощью матрицы, обратной матрице перехода, что впрочем вполне очевидно и так.

Укажем здесь еще один, практически более удобный, чем изложенный выше, способ вычисления матрицы обратной данной невырожденной матрице А.

Выпишем рядом матрицу А и единичную матрицу Е и над строками их будем одновременно производить элементарные преобразования до тех пор, пока матрица А не превратится в единичную. При этом исходная единичная матрица превратится в .

Рассмотрим пример. Пусть нам надо найти матрицу обратную матрице Выпишем рядом с А единичную матрицу и над строками полученной «объединенной (прямоугольной) матрицы» будем производить элементарные преобразования: сначала отнимем от второй строки утроенную первую, затем разделим вторую строку на —2, вычтем удвоенную вторую строку из первой и, наконец, переставим строки. Так мы получим последовательно:

В последнем «блоке» левая Матрица — единичная, а правая равна

Можно было бы производить элементарные преобразования не над строками, а над столбцами — одновременно матриц А и Е — но всегда либо только над строками, либо только над столбцами. Во втором случае (при элементарных преобразованиях столбцов) удобнее располагать матрицы «столбиком»: единичную матрицу Е помещать под матрицей А. Так, в нашем примере мы будем иметь последовательно:

Здесь удвоенный второй столбец вычитается из первого, первый столбец делится на —2, утроенный первый столбец вычитается из второго и, наконец, столбцы меняются местами. После того как верхняя матрица превратилась в единичную, нижняя будет равна

Для того чтобы обосновать эти действия, заметим следующее,

1. Умножение произвольной -матрицы А слева на матрицу В порядка получающуюся из единичной матрицы умножением ее строки на число с, равносильно умножению на с 1-й строки самой матрицы А. В то же время умножение матрицы А на аналогичную матрицу поряка справа равносильно умножению на с столбца матрицы А. (Проверьте это сами.)

2. Умножение -матрицы А слева на матрицу С порядка получающуюся из единичной матрицы перестановкой ее строк, равносильно перестановке строк самой матрицы А, а умножение матрицы А на аналогичную матрицу порядка справа равносильно перестановке столбцов матрицы А. (Проверьте и это.)

3. Умножение -матрицы А слева на матрицу получающуюся из единичной матрицы порядка прибавлением к ее строке строки, умноженной на с, равносильно аналогичной операции над строками самой матрицы А. Так, например,

В то же время умножение матрицы А справа на матрицу порядка получающуюся из единичной матрицы прибавлением к ее столбцу столбца, умноженного на число с, равносильно аналогичной операции над столбцами самой матрицы А, (Докажите все это сами.) Так, например,

Пусть теперь — матрица, обратная А, тогда Элементарные преобразования над строками матрицы А равносильны умножению ее слева на некоторые специальным образом подобранные матрицы. На те же матрицы одновременно умножается и матрица . В нашем примере элементарные преобразования над строками матрицы отвечают таким действиям:

Но произведение

равно , и значит, правая часть последнего равенства равна

Элементарные преобразования столбцов отвечают умножению равенства (обратите внимание на то, что теперь мы

написали матрицу справа) справа на определенным образом подобранные матрицы. в том же примере мы имеем

А так как произведение

равно Е, то правая часть последнего равенства равна .

Заметим, что аналогичный прием можно применить и при решении матричного уравнения, скажем, вида где квадратная матрица порядка — искомая и В — данная -матрицы: производим элементарные преобразования строк одновременно матриц А и В до тех пор, пока матрица А не превратится в единичную; при этом матрица В превратится в (Сравните это сметодом Гаусса на стр. 50, которым, в сущности, решается матричное уравнение где А — матрица из коэффициентов при неизвестных, X — столбец неизвестных и В - столбец правых частей.)