Главная > Линейная алгебра и некоторые ее приложения
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 3. Прямоугольные матрицы

Матрица, состоящая из строк и столбцов, называется -матрицей. Можно определить сложение -матриц, полагая

и умножение -матрицы на число — равенством

Легко видеть, что относительно этих операций сложения и умножения на число -матрицы (в частности, квадратные матрицы порядка ) с элементами из поля сами образуют векторное пространство над полем Обозначим -матрицу, у которой

элемент I-й строки и столбца равен 1, а все остальные элементы равны нулю, через ей. Тогда ясно, что эти матрицы ей, где линейно независимы и что каждая -матрица является их линейной комбинацией. Следовательно, размерность пространства -матриц равна . В частности, пространство всех квадратных матриц порядка имеет размерность

Прямоугольную матрицу можно рассматривать как матрицу линейного оператора, отображающего одно векторное пространство в другое. А именно, пусть имеются два векторных пространства вообще говоря, разных размерностей но над одним и тем же числовым полем предположим, что каждому вектору поставлен в соответствие вектор так, что выполнены следующие условия:

Мы говорим тогда, что есть линейный оператор, отображающий пространство. или линейное отображение

Выберем в пространстве базис а в пространстве базис Вектор где принадлежит и следовательно, его можно разложить по базису пусть

Таким образом, линейному оператору отображающему пространство соответствует прямоугольная матрица

столбцы которой образованы коэффициентами разложений векторов по векторам

По аналогии с умножением квадратных частиц можно определить и умножение прямоугольных

матриц. Такое умножение выполнимо только в том случае, если длина строки левого множителя равна не столбца правого, т. е. когда число столбцов левого множителя равно числу строк правого. Произведение -матрицы на -матрицу будет, очевидно, -матрицей. В частности, произведение матрицы на -матрицу, т. е. на столбец, будет -матрицей, т. е. столбцом, а произведение -матрицы, т. е. строки, на -матрицу -матрицей, т. е. строкой.

Примеры

Нетрудно понять «геометрический смысл» операции умножения прямоугольных матриц. Пусть имеются три векторных пространства, вообще говоря, разных размерностей: и пусть даны два линейных оператора: отображающий и отображающий Оператор ставящий в соответствие каждому вектору вектор пространства называется произведением операторов и Легко видеть, что является линейным оператором, отображающим и что если оператору отвечает -матрица А, а оператору -матрица В, то матрицей оператора будет -матрица и для квадратных матриц, умножение прямоугольных матриц ассоциативно: и дистрибутивно относительно сложения: разумеется, если матрицы таковы, что все эти действия над ними выполнимы, Кроме того, если А — произвольная

-матрица, то где - единичная матрица порядка

Рассмотрим снова систему линейных уравнений

Обозначим через А матрицу из коэффициентов при неизвестных этой системы, через X — столбец, составленный из неизвестных, и через В — столбец, составленный из правых частей. Тогда систему (3) можно записать в виде одного матричного уравнения

Если матрица А квадратная и ее определитель - отличен от нуля, то существует обратная к ней матрица Умножая обе части последнего равенства слева на получим

В более подробной записи это — формулы Крамера (ср. выше, стр. 33).

Если линейный оператор в пространстве

— его матрица в некотором базисе в котором формулы (1) из § 1 можно записать в виде одного матричного уравнения

где X — столбец из координат вектора столбец из координат вектора

Наконец, если С — матрица перехода от базиса к (новому) базису то

где — столбец старых, — столбец новых координат вектора х (см. формулы в § 6 главы II). Из последней формулы непосредственно вытекает равенство: т. е. что новые координаты получаются из старых с помощью матрицы, обратной матрице перехода, что впрочем вполне очевидно и так.

Укажем здесь еще один, практически более удобный, чем изложенный выше, способ вычисления матрицы обратной данной невырожденной матрице А.

Выпишем рядом матрицу А и единичную матрицу Е и над строками их будем одновременно производить элементарные преобразования до тех пор, пока матрица А не превратится в единичную. При этом исходная единичная матрица превратится в .

Рассмотрим пример. Пусть нам надо найти матрицу обратную матрице Выпишем рядом с А единичную матрицу и над строками полученной «объединенной (прямоугольной) матрицы» будем производить элементарные преобразования: сначала отнимем от второй строки утроенную первую, затем разделим вторую строку на —2, вычтем удвоенную вторую строку из первой и, наконец, переставим строки. Так мы получим последовательно:

В последнем «блоке» левая Матрица — единичная, а правая равна

Можно было бы производить элементарные преобразования не над строками, а над столбцами — одновременно матриц А и Е — но всегда либо только над строками, либо только над столбцами. Во втором случае (при элементарных преобразованиях столбцов) удобнее располагать матрицы «столбиком»: единичную матрицу Е помещать под матрицей А. Так, в нашем примере мы будем иметь последовательно:

Здесь удвоенный второй столбец вычитается из первого, первый столбец делится на —2, утроенный первый столбец вычитается из второго и, наконец, столбцы меняются местами. После того как верхняя матрица превратилась в единичную, нижняя будет равна

Для того чтобы обосновать эти действия, заметим следующее,

1. Умножение произвольной -матрицы А слева на матрицу В порядка получающуюся из единичной матрицы умножением ее строки на число с, равносильно умножению на с 1-й строки самой матрицы А. В то же время умножение матрицы А на аналогичную матрицу поряка справа равносильно умножению на с столбца матрицы А. (Проверьте это сами.)

2. Умножение -матрицы А слева на матрицу С порядка получающуюся из единичной матрицы перестановкой ее строк, равносильно перестановке строк самой матрицы А, а умножение матрицы А на аналогичную матрицу порядка справа равносильно перестановке столбцов матрицы А. (Проверьте и это.)

3. Умножение -матрицы А слева на матрицу получающуюся из единичной матрицы порядка прибавлением к ее строке строки, умноженной на с, равносильно аналогичной операции над строками самой матрицы А. Так, например,

В то же время умножение матрицы А справа на матрицу порядка получающуюся из единичной матрицы прибавлением к ее столбцу столбца, умноженного на число с, равносильно аналогичной операции над столбцами самой матрицы А, (Докажите все это сами.) Так, например,

Пусть теперь матрица, обратная А, тогда Элементарные преобразования над строками матрицы А равносильны умножению ее слева на некоторые специальным образом подобранные матрицы. На те же матрицы одновременно умножается и матрица . В нашем примере элементарные преобразования над строками матрицы отвечают таким действиям:

Но произведение

равно , и значит, правая часть последнего равенства равна

Элементарные преобразования столбцов отвечают умножению равенства (обратите внимание на то, что теперь мы

написали матрицу справа) справа на определенным образом подобранные матрицы. в том же примере мы имеем

А так как произведение

равно Е, то правая часть последнего равенства равна .

Заметим, что аналогичный прием можно применить и при решении матричного уравнения, скажем, вида где квадратная матрица порядка — искомая и В — данная -матрицы: производим элементарные преобразования строк одновременно матриц А и В до тех пор, пока матрица А не превратится в единичную; при этом матрица В превратится в (Сравните это сметодом Гаусса на стр. 50, которым, в сущности, решается матричное уравнение где А — матрица из коэффициентов при неизвестных, X — столбец неизвестных и В - столбец правых частей.)

1
Оглавление
email@scask.ru