§ 9. Характеры группы вращений тетраэдра

Число классов сопряженных элементов этой группы равно 4, порядок ее равен 12. Так как

то группа имеет три одномерных и одно трехмерное представления.

Найдем одномерные представления. Пусть Тогда . Следовательно, а — кубический корень из 1. Пусть тогда Но характер каждого неприводимого неединичного представления должен быть ортогонален характеру единичного представления, т. е.

или

А так как то при имеем и, значит, (Заметим, что для неединичного представления а не может равняться 1, так как в этом случае из равенства (2) вытекало бы, что что невозможно).

Итак, мы нашли характеры трех одномерных представлений группы Т:

где . Эти представления неприводимы и попарно неизоморфны.

Далее, так как группа Т является группой преобразований трехмерного пространства, то она и будет одним

из своих представлений. Мы не будем находить матрицы этого (основного) представления в каком-нибудь фиксированном базисе, но ограничимся тем, что найдем только характер представления. Это приводит к значительным упрощениям, потому что след матрицы линейного преобразования не зависит от базиса, и мы можем для каждого преобразования выбирать базис так, чтобы его матрица выглядела возможно проще. Особенно удобно принимать ось вращения за одну из координатных осей.

Так, если принять ось вращения за ось (а оси Ох и Оу, ортогональные оси и между собой, выбрать произвольным образом), то матрицы поворотов на углы соответственно будут иметь вид

Следы их равны нулю. Матрица поворота вокруг на угол

имеет след, равный —1. Это дает характер трехмерного представления группы Т:

Соответствующее представление неприводимо, так как

и не изоморфно, очевидно, ни одному из предыдущих,