§ 6. Невырожденный линейный оператор

Линейный оператор мы назвали невырожденным, если из равенства вытекает, что Далее, в § 1 было показано, что матрица невырожденного линейного оператора в любом базисе имеет отличный от нуля определитель, а в § 2, - что для всякого невырожденного линейного оператора существует обратный линейный оператор Наоборот, если для линейного оператора существует обратный оператор

то этот оператор — невырожденный, так как из равенства применяя к. обеим его частям оператор получаем но и значит,

Ранг невырожденного линейного оператора в пространстве равен так как определитель его матрицы отличен от нуля; дефект невырожденного линейного оператора равен нулю. Обратно, всякий линейный оператор ранга будет, очевидно, невырожденным. Область значенийневырожденного линейного оператора -мерна и, значит, совпадает со всем невырожденный линейный оператор отображает в с Ядро невырожденного линейного оператора состоит лишь из нулевого вектора. Невырожденный линейный оператор взаимно однозначно отображает пространство на себя, так как из равенства вытекает, что и, значит,

Под действием невырожденного линейного оператора линейно независимые векторы переходят в линейно независимые. Действительно, если векторы линейно независимы и

то

Следовательно, если — невырожденный линейный оператор и подпространство -мерно, то и подпространство имеет ту же размерность

Покажем, что если — линейный оператор ранга — невырожденный линейный оператор, то оба оператора будут ранга

Действительно, область значений (невырожденного) линейного оператора совпадает со всем пространством; и следовательно, область значений оператора -мерна, т. е. ранг оператора равен

С другой стороны, область значений оператора -мерна, а так как оператор -невырожденный, то он переводит -мерное подпространство в -мерное же подпространство и значит, область значений оператора тоже т. е. ранг оператора равен