§ 10. Определение аффинного пространства

Выше мы неоднократно иллюстрировали общее понятие векторного пространства на примере (обычной) плоскости или (обычного трехмерного) пространства. Однако эти иллюстрации были, строго говоря, не совсем точными — ведь основным понятием той геометрии, которая изучается в средней школе, является точка, и все геометрические образы можно понимать как множества точек, в то время как в определении векторного пространства точки вообще не фигурируют.

В школьном курсе геометрии понятие вектора появляется позже понятия точки: вектором там называют упорядоченную пару точек (направленный отрезок) определяя далее условия равенства векторов и правила их сложения и умножения на число.

Нам сейчас придется поступить иначе. Располагая уже определением векторного пространства, мы дополним его, введя в рассмотрение еще и точки. Полученное таким образом множество (векторов и точек) — его называют точечно-векторным, или аффинным, пространством, — будет уже ближе к тому пространству, которое изучается в курсе элементарной геометрии, хотя и не будет еще полностью с ним совпадать. Дело в том, что само понятие «аффинного» пространства предполагает, что это пространство лишено метрики, т. е. способа измерения длин и углов. Оно станет вполне идентичным (во всяком случае для двух- и трехмерного случаев) обычному пространству лишь после введения в нем соответствующей метрики (см. ниже, главу IV).

Определение 11. Пусть имеются векторное пространство (элементы его по-прежнему обозначаются строчными латинскими буквами) и, кроме того, множество элементов, которые мы будем называть точками (и обозначать прописными латинскими буквами), причем каждой упорядоченной паре точек поставлен в соответствие один и только один вектор х из (хотя разным парам точек может быть поставлен в соответствие один и тот же вектор); мы будем писать в этом случае Будем предполагать, что это соответствие между точками и векторами обладает следующими свойствами:

1. Для каждой точки М и каждого вектора х найдется одна и только одна такая точка что

2. Для любых трех точек

Все точки и все векторы вместе образуют тогда аффинное пространство.

Аффинное пространство называется n-мерным, если -мерно соответствующее ему векторное пространство .

Итак, аффинное пространство А — это множество элементов двух родов: точек и векторов, связь между которыми задается с помощью операции откладывания векторов. Произвольный вектор х можно отложить от любой точки М, получив при этом определенную точку и тогда Точка М называется началом, а точка — концом вектора

Далее, почти очевидны следующие предложения.

1. Если то (Это вытекает из равенства

В частности, так как то т. е. все векторы, у которых начало и конец совпадают, равны между собой. Такой вектор является нулевым, так как

2. Вектор является противоположным так как