Главная > Линейная алгебра и некоторые ее приложения
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 2. Поле комплексных чисел

Комплексным числом называется выражение вида (или, что то же самое, где — любые вещественные числа, некоторый новый символ. По определению, а в том и только в том

случае, если По определению же,

и

Легко видеть, что так определенные сложение и умножение комплексных чисел коммутативны и ассоциативны (проверьте это!). Комплексное число можно обозначить просто через 0: для любого комплексного числа имеем

Комплексное число будет противоположным а, так как Комплексное число обозначим просто 1: для любого комплексного числа произведение а равно а, так как

Далее, для каждого комплексного числа существует обратное ему число

произведение которого на а равно 1:

Наконец, сложение и умножение комплексных чисел связаны дистрибутивным законом — это легко проверяется непосредственно.

В множестве комплексных чисел рассмотрим числа вида а — такое число можно обозначить просто через а (выше мы уже сделали это для 0 и 1). Сумма таких чисел равная

и их произведение

имеют такой же вид. Таким образом, числа вида а в поле комплексных чисел образуют подполе, которое можно отождествить с полем вещественных чисел.

Заметим, что

Далее имеем

Число можно обозначить просто При этом Далее, любое комплексное число

можно рассматривать как сумму вещественного числа а и произведения (вещественного) числа на число а называется «вещественной частью», — «мнимой частью» комплексного числа

Рис. 2.

Число называется комплексно-сопряженным к Легко видеть, что и что в том и только в том случае, когда а вещественно (проверьте это!). Заметим, что сумма произведение комплексно-сопряженных чисел вещественны.

Комплексные числа удобно изображать точками, или, лучше — векторами плоскости. Комплексному числу а отвечает вектор где М — точка с координатами в прямоугольной декартовой системе координат (рис. 2).

Пусть вектор представляет комплексное число Тогда угол называется аргументом числа а (этот угол определен с точностью до

кратного модулем, (заметим, что ). Таким образом, это просто полярные координаты точки М. Так как а то

— это так называемая тригонометрическая форма комплексного числа. При этом, очевидно

Вычислим произведение двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме. Пусть Тогда

Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Отсюда легко выводится, что при делении комплексных чисел их модули делятся., а аргументы вычитаются.

Если то комплексносопряженное число

имеет тот же модуль и противоположный аргумент — Произведение и значит, модуль комплексного числа а равен

Заметим, что если модуль а равен то и значит,

Далее, при любом целом положительном имеем

— это так называемая формула Муавра.

Рассмотрим еще операцию Извлечения корня из комплексного числа. При этом мы ограничимся корнями из единицы. Общий случай читателю предлагается рассмотреть самостоятельно.

Мы имеем, очевидно, Однако аргумент комплексного числа определен не однозначно, а

с точностью до кратного и здесь нам будет важно, что число 1 можно представить так:

где — любое целое число:

Пусть Тогда, по формуле Муавра, , значит, откуда (ибо модуль комплексного числа — вещественное положительное число) и т. е.

Положим При получаем

Если изображать комплексные числа точками плоскости (см. рис. 2 выше), то полученные при значения будут расположены в вершинах правильного -угольника, вписанного в единичную окружндсть; одна из вершин этого -угольника находится в точке

При остальных значениях мы не получим новых значений корня из 1, так как, например,

и т. д. — эти значения будут периодически повторяться. Аналогично,

и т. д. Таким образом, корень степени из 1 имеет ровно различных значений.

Произведение двух корней степени из 1 тоже есть корень степени из 1 (легко проверить, что

. Любая (целая) степень корня степени из 1 тоже будет корнем степени из 1.

Рассмотрим несколько примеров. При имеются 2 (изображенные на рис. 3) корни

при. — три корня

расположенных в вершинах правильного треугольника. При корни из это (они расположены в вершинах квадрата). При корни из 1 образуют правильный шестиугольник с вершинами

Рис. 3.

Пусть — корни степени из 1. Если возвести в различные (целые, положительные) степени мы получим по одному разу все корни степени из 1, так как, очевидно,

Аналогичным свойством могут обладать и другие корни из 1. Так, при возводя в степени 1, 2, 3, 4 корень мы получим — тоже все корни четвертой степени из 1. Корень степени из 1, при возведении которого в степени получаются по одному разу все

корни n-степени из 1, называется первообразным. Так, при корни являются первообразными, корень же первообразным не является, так как

1
Оглавление
email@scask.ru