§ 2. Поле комплексных чисел

Комплексным числом называется выражение вида (или, что то же самое, где — любые вещественные числа, некоторый новый символ. По определению, а в том и только в том

случае, если По определению же,

и

Легко видеть, что так определенные сложение и умножение комплексных чисел коммутативны и ассоциативны (проверьте это!). Комплексное число можно обозначить просто через 0: для любого комплексного числа имеем

Комплексное число будет противоположным а, так как Комплексное число обозначим просто 1: для любого комплексного числа произведение а равно а, так как

Далее, для каждого комплексного числа существует обратное ему число

произведение которого на а равно 1:

Наконец, сложение и умножение комплексных чисел связаны дистрибутивным законом — это легко проверяется непосредственно.

В множестве комплексных чисел рассмотрим числа вида а — такое число можно обозначить просто через а (выше мы уже сделали это для 0 и 1). Сумма таких чисел равная

и их произведение

имеют такой же вид. Таким образом, числа вида а в поле комплексных чисел образуют подполе, которое можно отождествить с полем вещественных чисел.

Заметим, что

Далее имеем

Число можно обозначить просто При этом Далее, любое комплексное число

можно рассматривать как сумму вещественного числа а и произведения (вещественного) числа на число а называется «вещественной частью», — «мнимой частью» комплексного числа

Рис. 2.

Число называется комплексно-сопряженным к Легко видеть, что и что в том и только в том случае, когда а вещественно (проверьте это!). Заметим, что сумма произведение комплексно-сопряженных чисел вещественны.

Комплексные числа удобно изображать точками, или, лучше — векторами плоскости. Комплексному числу а отвечает вектор где М — точка с координатами в прямоугольной декартовой системе координат (рис. 2).

Пусть вектор представляет комплексное число Тогда угол называется аргументом числа а (этот угол определен с точностью до

кратного модулем, (заметим, что ). Таким образом, это просто полярные координаты точки М. Так как а то

— это так называемая тригонометрическая форма комплексного числа. При этом, очевидно

Вычислим произведение двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме. Пусть Тогда

Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Отсюда легко выводится, что при делении комплексных чисел их модули делятся., а аргументы вычитаются.

Если то комплексносопряженное число

имеет тот же модуль и противоположный аргумент — Произведение и значит, модуль комплексного числа а равен

Заметим, что если модуль а равен то и значит,

Далее, при любом целом положительном имеем

— это так называемая формула Муавра.

Рассмотрим еще операцию Извлечения корня из комплексного числа. При этом мы ограничимся корнями из единицы. Общий случай читателю предлагается рассмотреть самостоятельно.

Мы имеем, очевидно, Однако аргумент комплексного числа определен не однозначно, а

с точностью до кратного и здесь нам будет важно, что число 1 можно представить так:

где — любое целое число:

Пусть Тогда, по формуле Муавра, , значит, откуда (ибо модуль комплексного числа — вещественное положительное число) и т. е.

Положим При получаем

Если изображать комплексные числа точками плоскости (см. рис. 2 выше), то полученные при значения будут расположены в вершинах правильного -угольника, вписанного в единичную окружндсть; одна из вершин этого -угольника находится в точке

При остальных значениях мы не получим новых значений корня из 1, так как, например,

и т. д. — эти значения будут периодически повторяться. Аналогично,

и т. д. Таким образом, корень степени из 1 имеет ровно различных значений.

Произведение двух корней степени из 1 тоже есть корень степени из 1 (легко проверить, что

. Любая (целая) степень корня степени из 1 тоже будет корнем степени из 1.

Рассмотрим несколько примеров. При имеются 2 (изображенные на рис. 3) корни

при. — три корня

расположенных в вершинах правильного треугольника. При корни из это (они расположены в вершинах квадрата). При корни из 1 образуют правильный шестиугольник с вершинами

Рис. 3.

Пусть — корни степени из 1. Если возвести в различные (целые, положительные) степени мы получим по одному разу все корни степени из 1, так как, очевидно,

Аналогичным свойством могут обладать и другие корни из 1. Так, при возводя в степени 1, 2, 3, 4 корень мы получим — тоже все корни четвертой степени из 1. Корень степени из 1, при возведении которого в степени получаются по одному разу все

корни n-степени из 1, называется первообразным. Так, при корни являются первообразными, корень же первообразным не является, так как