§ 9. Спектр линейного оператора

Из сформулированной в предыдущем параграфе «основной теоремы алгебры» непосредственно следует, что в комплексном векторном пространстве каждый линейный оператор имеет хотя бы один собственный вектор и, значит, в существует одномерное инвариантное относительно подпространство.

Далее, из этой основной теоремы вытекает, что многочлен степени (с комплексными коэффициентами) имеет в точности (комплексных) корней, среди которых, впрочем, могут быть и равные. Действительно, пусть — многочлен степени и - его корень; тогда делится на где - многочлен степени, тоже с комплексными коэффициентами. Но тоже имеет хотя бы один корень и тогда откуда Через шагов мы получим равенство

где — корни многочлена а с — число. Если множитель входит в разложение раз, то соответствующий корень называется корнем кратности или -кратным корнем.

Покажем теперь, что многочлен не может иметь корней, отличных от в частности, он не может иметь более чем корней. Действительно, если — корень многочлена то

и значит, одна из разностей откуда где или

Пусть теперь — характеристический многочлен Линейного оператора — все его корни (собственные значения оператора причем каждый

из них взят столько раз, какова его кратность. Мы видели выше (см. стр. 121), что

С другой стороны,

Следовательно, сумма всех собственных значений оператора равна следу

его матрицы. Но так как след — это один из. коэффициентов характеристического многочлена (см. стр. 121), то он не зависит от базиса и поэтому может быть назван следом самого оператора

Легко видеть, что для любых двух линейных операторов

Покажем еще, что

Действительно, если то

Из доказанного равенства, в частности, вытекает, что для любых (где — невырожденный оператор) имеем

Отметим еще несколько свойств собственных значений.

Пусть — линейный оператор, — его собственное значение и соответствующий собственный вектор,

Тогда Применяя к обеим частям этого равенства оператор получим или т. е. — собственное значение оператора для того же собственного вектора - х. Аналогично показывается, что при любом натуральном число есть собственное значение оператора и для любого многочлена число -собственное значение оператора отвечающее тому же собственному вектору Можно доказать и такую более общую теорему: если все собственные значения оператора взятые с учетом их кратностей, и произвольный многочлен, то это все собственные значения оператора причем взято столько раз, какова кратность А.

Далее, если оператор — невырожденный, то, применяя к обеим частям равенства оператор получим или откуда является собственным значением оператора с тем же собственным вектором так как оператор — невырожденный). Мы видим, что действиям над линейными операторами отвечают соответствующие действия над их собственными значениями. Поэтому набор этих чисел — собственных значений оператора в каком-то смысле определяет этот оператор. Множество всех собственных значений линейного оператора называется его спектром.