§ 3. Псевдоевклидова плоскость
Пусть 
— двумерное векторное пространство с псевдоевклидовой метрикой и 
— тот его базис, в котором скалярный квадрат произвольного вектора 
равен 
Тогда, в частности,
и
откуда
(т. е. вектор 
— единичный, вектор 
— «мнимо-единичный», 
ортогональны). Такой базис будем
называть ортонормированным. В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов
равно
а модуль вектора х равен
Рассмотрим теперь двумерное точечно-векторное пространство, в котором расстояние между точками 
считается равным модулю вектора 
в псевдоевклидовой метрике, т. е. равным
Окружность радиуса 
с центром в точке 
- это совокупность всех точек, удаленных на одно и то же (псевдоевклидово) расстояние 
от точки М. Значит, уравнение окружности радиуса 
с центром в точке 
будет иметь вид
Таким образом, если точки псевдоевклидовой плоскости представить точками евклидовой плоскости с теми же координатами, то окружность представится гиперболой, если ее радиус 
, и парой пёресекающихся прямых при 
(рис. 19). Радиус такой окружности может быть положительным, нулевым или даже «чисто мнимым». Так, уравнение окружности положительного радиуса 
с центром в начале координат будет иметь вид
(гипербола с горизонтальной вещественной осью). Окружность мнимого радиуса 
(с тем же центром) имеет уравнение
(кликните для просмотра скана)
(гипербола с вертикальной вещественной осью). Эти два семейства окружностей разделяются окружностью нулевого радиуса
(пара прямых — общие асимптоты обоих семейств гипербол; см. рис. 20).
Если векторы х и у ортогональны, т. е. если их скалярное произведение равно нулю:
то
— угловые коэффициенты этих векторов, рассматриваемых в евклидовой метрике, взаимно обратны и, значит, векторы, ортогональные в псевдоевклидовой метрике, при изображении на евклидовой плоскости по направлению симметричны друг другу относительно биссектрисы 
координатных углов (см. рис. 21, на котором 
).
Рис. 21.
Каждый вектор, у которого 
ортогонален самому себе и имеет нулевую длину. Для векторов с вещественными длинами 
а для векторов мнимых длин 
(см. тот же рис. 21, на котором векторы 
имеют вещественные длины, векторы 
— мнимые длины, а вектор с ортогонален самому себе и 
Задачи. Докажите, что в псевдоевклидовой плоскости
(см. скан)
