§ 7. Ранг матрицы

Снова будемрассматривать таблицы чисел (матрицы), не требуя теперь, чтобы число строк матрицы совпадало с числом ее столбцов. Для таких (вообще говоря, прямоугольных) матриц мы введем важное понятие ранга.

Рассмотрим прямоугольную матрицу, состоящую из строк и столбцов (-матрицу). Пусть Выделим в этой матрице какие-нибудь строк и столбцов. Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель порядка. Все такие определители называются минорами нашей матрицы. Ясно, что из -матрицы можно составить миноров Так, например, из матрицы

можно составить миноров первого порядка — это сами элементы матрицы миноров второго порядка:

и минора третьего порядка:

Нетрудно проверить, что все миноры третьего порядка матрицы А равны нулю, а миноры второго порядка во всяком случае не все равны нулю (отличен от нуля уже лёрвый из выписанных выше миноров второго порядка). Поэтому мы будем говорить, что ранг «матрицы А равен 2.

Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы.

Таким образом, если ранг матрицы равен то среди миноров этой матрицы есть по крайней мере один минор порядка, отличный от нуля, в то время как все ее иноры порядка и выше равны нулю. Ранг матрицы А мы будем обозначать через

Для вычисления ранга матрицы ее сначала приводят возможно более простому виду с помощью так называемых элементарных преобразований.

Элементарными преобразованиями матрицы называется следующие ее преобразования:

1. Транспонирование, т. е. замена каждой строки толбцом с тем же номером.

2. Перестановка двух строк или двух столбцов.

3. Умножение всех элементов строки или столбца на юбое число с, отличное от нуля.

4. Прибавление ко всем элементам строки или столбца соответствующих элементов параллельного ряда, множенных на одно и то же число.

Теорема 6 (об элементарных преобразованиях). При элементарных преобразованиях матрицы ее ранг не меняется.

Доказательство. Рассмотрим каждое преобразование отдельно. В первых трех случаях наше утверждение почти очевидно:

1. По свойству 1 определителей каждый минор транспонированной матрицы равен некоторому минору данной матрицы, и обратно.

2. После перестановки двух строк или двух столбцов матрицы А приходим к новой матрице, каждый минор которой либо равен некоторому минору матрицы Л, либо отличается от некоторого минора матрицы А только знаком.

3. При умножении всех элементов строки или столбца матрицы на число с одни ее миноры не меняются, а другие умножаются на с; но так как то наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы не изменится.

4. Рассмотрим матрицу В, получающуюся из матрицы А прибавлением ко всем элементам ее столбца соответствующих элементов столбца, умноженных на одно и то же число с:

Пусть ранг матрицы А равен Покажем, что ранг матрицы В не больше чем Для этого достаточно показать, что каждый минор матрицы В порядка выше равен 0. Пусть будет минор порядка выше матрицы В. Если не содержит столбца матрицы В, то он в точности равен соответствующему минору матрицы А, и, значит, равен 0 как минор порядка выше составленный из матрицы ранга

Если содержит и столбцы матрицы В, то по свойству 4 он тоже равен соответствующему минору матрицы А, и значит, равен 0,

Наконец, если определитель содержит но не содержит столбца матрицы , то по свойству 4 его можно представить в виде суммы двух определителей; один из которых равен соответствующему минору матрицы А, а другой отличается от некоторого минора матрицы А множителем минус здесь получается из-за того, что столбец с элементами может оказаться «не на своем месте». Так, например,

Следовательно, каждый из. определителей равен 0 и Таким образом, каждый минор матрицы В порядка выше чем равен нулю, и значит,

Но матрица А, в свою очередь, получается из матрицы В с помощью элементарного преобразования четвертого типа: чтобы получить матрицу А, надо к столбцу матрицы В прибавить ее столбец, умноженный на — с. По доказанному, ранг матрицы при этом не увеличивается, т. е. Следовательно,

Пример. С помощью элементарных преобразований вычислить ранг матрицы

Решение. Вычитая из третьей строки удвоенную первую, сокращая второй столбец на 2 и вычитая после этого из первого столбца утроенный второй, из третьего — второй и из четвертого — удвоенный второй, последовательно получаем

где знак указывает, что соединяемые им матрицы получаются одна из другой элементарными преобразованиями и, значит, илгеют один к тот же ранг.

Прибавляя далее к третьей строке утроенную вторую, сокращая первый столбец на 2, прибавляя его к третьему и вычитая из четвертого

и поменяв, наконец, местами первые два столбца, будем иметь

Мы видим, что ранг матрицы А равен 2.