§ 3. Группы преобразований. Симметрическая группа n-й степени

Важный класс групп составляют так называемые группы преобразований.. Пусть М — произвольное множество. Преобразованием множества М мы теперь будем называть любое взаимно однозначное отображение Р этого множества на себя. Это значит, что для каждого элемента х из М однозначно определен его образ , причем каждый элемент х из М служит образом единственного элемента х, называемого его прообразом.

Умножением преобразований называется последовательное выполнение их одного за другим: по определению,

Умножение преобразований ассоциативно — это можно доказать точно так же, как доказывалось выше для линейных операторов. (§ 2 главы III), но, вообще говоря, не коммутативно (не коммутативно уже умножение линейных операторов). Роль единицы в этом умножении играет тождественное преобразование Е, ставящее в соответствие каждому элементу х из М его самого. Для каждого преобразования Р множества М существует обратное преобразование ставящее в соответствие каждому элементу из М его (единственный по условию) прообраз х; при этом, очевидно,

Если множество М конечно и состоит из элементов, то всевозможные взаимно однозначные отображения этого множества на себя называются подстановками, а соответствующая группа преобразований обозначается через и называется группой подстановок из элементов, или симметрической группой степени.

Рассмотрим симметрическую группу третьей степени группу всех взаимно однозначных отображений множества, состоящего из трех элементов а, b, с, — например, это могут быть числа 1, 2, 3, на себя. Так как из трех элементов можно составить всего шесть различных перестановок:

то и число различных подстановок для них равно шести. Обозначать их удобно следующим образом:

где, например, такое отображение множества 1, 2, 3 «а себя, при котором отображается в Подстановки, отличающиеся только порядком следования столбцов, например,

не считаются различными. Умножение подстановок — это их последовательное выполнение (сначала правого множителя, а затем — левого), поэтому, например,

ибо в правом множителе в левом следовательно, в произведении Единицей при этом умножении служит тождественная подстановка и для каждой подстановки имеется обратная ей:

Для того чтобы получить подстановку, обратную данной, надо лишь поменять местами ее строки:

Группу можно представить такой таблицей Кэли:

Группа некоммутативна, так как, например,

(таблица Кэли этой группы не симметрична относительно главной диагонали).

Мы подробно рассмотрели группу подстановок из трех элементов; обратимся теперь к общему случаю. Подстановку из элементов — например, чисел — можно обозначить символом

показывающим, что 1 переходит в здесь — это те же числа но расположенные, вообще говоря, в каком-то другом порядке. Расположение столбцов в этой записи не играет роли и, например,

Число подстановок из элементов равно, очевидно,

Перемножаются подстановки в общем случае так же, как подстановки из трех элементов. Так, например,

(Сначала выполняется правая подстановка, а потом левая: здесь 1-4-4, а затем 4-1; далее, 2-3, а затем , и т. д.) Умножение подстановок ассоциативно, но, вообще говоря, не коммутативно. Подстановка

играет роль единицы и называется тождественной подстановкой. У каждой подстановки имеется обратная:

Группа подстановок из элементов {симметрическая группа степени) имеет, очевидно, порядок

Подстановки бывают двух типов: четные и нечетные. Подстановка называется четной, если обе составляющие ее перестановки (т. е. верхняя строка и нижняя) — одинаковой четности, и нечетной — в противном случае. Это определение не зависит от способазаписи подстановки: если поменять местами ее столбцы, то в обеих составляющих ее перестановках произойдет по одной транспозиции, отчего четность каждой из них изменится, а значит, четность самой подстановки не изменится.

Теорема 1. Произведение двух подстановок одинаковой четности является четной подстановкой, а произведение двух подстановок разной четности — нечетной подстановкой.

Доказательство. Рассмотрим произведение двух подстановок

Если подстановки А и В одинаковой четности, то либо они обе четны либо обе нечетны. В первом случае перестановки , а также - одинаковой четности, и значит, перестановки одинаковой четности. Во втором случае перестановки разной четности, но и перестановки тоже разной четности, а значит, перестановки оиаг... и одинаковой четности. В обоих случаях подстановка — четна.

Если подстановки А и В—разной четности, то либо подстановка А четна, а В нечетна, либо — наоборот. В обоих случаях перестановки и ной четности, и значит, подстановка — нечетна.

Следствие. Все четные подстановки симметрической группы образуют в ней подгруппу. Порядок этой подгруппы равен, очевидно, . Она называется знакопеременной подгруппой симметрической группы и обозначается символом