§ 8. Группа симметрии куба Oh

Кроме 13 осей симметрии куб имеет 9 плоскостей симметрии (и центр симметрии): три плоскости симметрии — такие, как на рис. 36, а, и шесть диагональных плоскостей — таких, как на рис. 36, б.

Рассмотрим всевозможные ортогональные преобразования пространства, при которых куб переходит в себя. Те из этих преобразований, определитель которых равен 1 (вращения), образуют подгруппу О (изоморфную, как мы видели, симметрической группе Пусть — одно из преобразований симметрий куба с

определителем, равным —1. Умножив его на центральную симметрию (преобразование с определителем, равным — 1), мы получим преобразование а с определителем, равным т. е. вращение. Из равенства Имеем Таким образом, все преобразования, при которых куб переходит в себя, — это всевозможные вращения и всевозможные произведения вида где центральная симметрия, вращение.

Рис. 36.

Покажем, что центральная симметрия перестановочна с любым вращением и, даже, более того, — с любым линейным преобразованием Действительно, для любого вектора х имеем , значит,

Тождественное преобразование и центральная симметрия в группе образуют Ациклическую подгруппу второго порядка . Покажем, что группа равна прямому произведению своих подгрупп О и

1) Подгруппы О и в группе являются нормальными: О как подгруппа индекса 2 (ср. выше стр. 293), а — как подгруппа, оба элемента которой коммутируют со всеми элементами группы

2) Пересечение подгрупд О и состоит из одного единичного элемента.

3) Каждый элемент группы представляется в виде произведения элемента из О и элемента из если — все 24 элемента группы , то

элементы группы это

Группа состоит из 48 элементов. Так как в группе О — пять, а в группе — два класса сопряженных элементов, то число классов сопряженных элементов группы равно 10. Если — какой-то класс сопряженных элементов группы О, то в группе ему соответствуют два класса: