§ 8. Некоторые следствия из формул Лоренца

1. Правило сложения скоростей. Из равенства (15) получаем

или

откуда

Это — новая формула сложения скоростей. Если и и малы по сравнению с с, то . Если то из формулы (16) получаем

и обратно, если то и

(и, значит, из формул Лоренца вытекает закон постоянства скорости света).

2. Относительность одновременности. Предположим, что события А и В в системе происходят в один и тот же момент времени в точках с разными абсциссами Тогда в системе по второй из формул (15) эти события будут происходить в моменты времени

откуда

т. е. события, одновременные в одной системе отсчета, не будут одновременными в другой. При этом разность может быть как положительной, так и отрицательной, в зависимости от знака разности хорошо видно на чертеже: если события А и В одновременны в системе то отрезок должен быть параллелен оси в если они одновременны в системе то он должен был параллелен оси

Больше того, даже последовательность событий может быть в системах и не одинаковой. Так, на рис. 24 события А и А одновременны в системе причем А происходит, очевидно, позднее О, а следовательно, и А в системе происходит после О. В системе одновременны события и значит, событие А (вместе с предшествует О.

Здесь, естественно, возникает такой вопрос: не может ли случиться так, что, например, событие О, в системе S послужившее причиной события А, в системе окажется происходящим после А, что противоречило бы принципу причинности. Покажем, что на самом деле этого быть не может.

Точки, отвечающие событиям, которые в системе 5 происходят после события О, — это все те и только те точки, которые лежат выше оси точки, отвечающие событиям, которые происходят после события О в системе — это точки, лежащие выше оси Так как все пространственные оси проходят внутри угла (см. конец § 7), и, очевидно, каждая такая прямая служит пространственной осью некоторой системы отсчета, то пересечение всех полуплоскостей, лежащих выше какой-либо из пространственных осей, — это угол заполненный всеми теми и только теми событиями, которые следуют за О во всех системах отсчета (его можно назвать «областью будущего»). Аналогично, угол представляет собой множество всех тех событий, которые во всех системах отсчета происходят до события О («область прошедшего»).

Точки же, лежащие в углах и отвечают событиям, которые в одних системах отсчета предшествуют О, а других — следуют за О. Однако ни одно из этих событий не может иметь своей причиной событие О. Действительно, если событие О послужило причиной

события (см. тот же рис. 24), то какое-то возмущение должно успеть дойти от О до А. Однако это невозможно, так как длина вектора вещественна и, значит, для него во всех системах отсчета

откуда

т. е. скорость такого возмущения должна была бы быть больше скорости света, что невозможно.

Аналогично показывается, что для двух событий А и В закон причинности не нарушается: если А может служить причиной В, т. е. если существует сигнал, распространяющийся (в данной системе отсчета от А к В со скоростью то А предшествует В во всех инерциальных системах отсчета.

3. Сокращение длин. Пусть в системе покоится стержень длины координаты концов его обозначим где тогда

Для того чтобы измерить длину V стержня в системе надо отметить координаты его концов в какой-то (один и тот же!) момент времени V. Если эти координаты то по первой из формул (14)

откуда имеем

или, так как длина V стержня в системе равна

Таким образом, длина стержня в той системе отсчета, относительно которой этот стержень движется, меньше, чем длина его I в той системе отсчета, относительно которой он находится в покое.

Поясним этот результат на чертеже. Пусть точка А лежит на пересечении гиперболы

с осью (рис. 25); тогда в системе ее расстояние от начала координат равно I. Если то точки А и А в системе находятся на одном и том же расстоянии от начала координат. (Это — одна и же точка, покоящаяся в системе в разные моменты времени.) Но в системе расстояние точки А от начала координат равно оно меньше ОВ, равного I.

Рис. 25.

Наоборот, точка В, лежащая на пересечении гиперболы с осью в системе находится на расстоянии от начала координат. Если то точка В в системе находится от начала координат на том же расстоянии однако в системе расстояние точки В от точки О равно — релятивистское, т. е. связанное с теорией относительности сокращение длин взаимно.

Если малб по сравнению со скоростью света, то указанное сокращение длин в движущейся системе отсчета настолько мало, что практически обнаружить его невозможно. (Поскольку то разность — второго порядка относительно Так, с космической ракеты (при скорости диаметр Земли (12 000 км) покажется укороченным всего на

4. Замедление времени. Пусть в системе на неподвижных в ней часах протекает время Т от до

Найдем значения соответствующее соответствующее в одной и той же точке с абциссой х в системе По второй из формул (14)

откуда

где — отрезок времени, протекающий в системе когда в системе протекает время Т от до значит,

Таким образом, временной интервал Т между двумя событиями, происходящими в одной и той же точке системы которая движется относительно меньше, чем время Т, протекшее между теми же событиями в системе

Поясним этот результат на чертеже. Рассмотрим гиперболу

(рис. 26), и пусть точка А лежит на пересечении этой гиперболы с осью тогда ее временное расстояние от точки О, т. е. время, протекшее от события О до А, в системе равно Т. Если , то события А и А одновременны в системе в системе время, протекшее от О. до А, равно оно меньше равного Т.

Наоборот, точка В в системе по времени удалена от точки О на интервал Т. Если то события В

и В одновременны в системе однако в системе временное расстояние точки В от О равно — оно меньше равного Т — лоренцово замедление времени взаимно.

Если скорость мала по сравнению со скоростью света, то это замедление времени в движущейся системе отсчета составляет всего оно второго порядка относительно и обнаружить его практически невозможно. Так, земные сутки покажутся космонавту сократившимися меньше чем на сек.

5. Увеличение массы движущегося тела. Мы не будем рассматривать дальнейших выводов теории относительности; упомянем еще только один феномен — увеличение массы движущегося тела.

Рис. 26.

Если на тело действует постоянная сила, то скорость движения его в обычных условиях возрастает пропорционально времени действия силы. Однако, ввиду существования предельной скорости, эта пропорциональность не может сохраняться и при больших скоростях. При скоростях, сравнимых со скоростью света, дальнейшее нарастание скорости замедляется — тело как бы оказывает большее сопротивление действующей на него силе. Можно сказать, что масса тела увеличивается. При этом оказывается, что

где — масса движущегося тела, — скорость его движения и - масса покоя, т. е. масса тела в той

системе отсчета, относительно которой оно покоится. Так, в современных ускорителях электрон разгоняется до скорости, отличающейся от скорости света всего на десятки метров в секунду, при этом его масса увеличивается в тысячи раз. (Действительно, если скорость электрона отличается от скорости света, скажем на то масса этого электрона

— увеличивается более чем в 2000 раз.)

Мы рассмотрели движение точки по прямой линии. В общем случае, когда одна пространственная система отсчета движется относительно другой равномерно и прямолинейно, направление этого движения можно принять за направление оси и тогда в классической механике

а в теории относительности

Пространство событий в этом случае четырехмерно. Сокращение длин (только в направлении движения) и замедление времени в движущейся системе отсчета происходят в том же отношении