ГЛАВА IX. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Содержание настоящей главы — это всего лишь некоторая интерпретация физических законов. Ясно, что саки эти законы нельзя вывести из линейной алгебры. Впрочем, переход от чисто алгебраических рассмотрений (в первых параграфах главы) к физическим эффектам будет довольно плавным.

§ 1. Двумерные пространства со скалярным произведением

Пусть — вещественное векторное пространство, в котором определено скалярное произведение, т. е. каждой паре векторов . из поставлено в соответствие (вещественное) число так что:

3) при всех х, у, z из всех вещественных а. Заметьте, что мы не требуем выполнения условия 4 (стр. 145).

Длиной, или модулем, вектора называется корень квадратный из его скалярного квадрата. При этом, вообще говоря, ненулевой вектор может иметь нулевую и аже мнимую длину. (Если , то, по определению, где )

Если в пространстве выбран базис, то скалярное роизведение представляется симметрической билинейной формой

от координат векторов х и у. Соответствующая квадратичная форма в некотором (вообще говоря, другом)

базисе приводится к «сумме квадратов»

(§ 2 главы VI). При этом число положительных и число отрицательных квадратов являются инвариантами пространства (закон инерции квадратичных форм, § 3 главы VI) и определяют его тип.

Так, для двумерного пространства (плоскости) возможны такие значения

В случае 1) в некотором (ортонормированном) базисе скалярный квадрат произвольного вектора равен и это пространство евклидово.

В случае и пространство несущественно отличается от евклидова.

В случае 2) (или 2), что почти то, же самое) квадратичная форма содержит только один квадрат, и в некотором базисе (соответственно — Такая плоскость называется полуевклидовой.

Наконец, в случае 3) квадратичная форма в некотором базисе приводится к разности квадратов такая плоскость называется псевдоевклидовой.