§ 4. Миноры и алгебраические дополнения

Минором элемента определителя порядка называется определитель порядка, получающийся из вычеркиванием строки и столбца.

Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, взятый со знаком

Теорема 2. Если все элементы столбца (строки) определителя кроме, быть может, одного, равны нулю, то определитель равен произведению на алгебраическое дополнение этого элемента:

Доказательство. Рассмотрим сначала частный случай, когда в определителе все элементы первого столбца, кроме равны нулю:

В каждый член определителя входит в точности по одному элементу из первого столбца; но так как все эти элементы, отличные от равны нулю, то в определителе все те члены, в которые из первого столбца входит не а какой-либо другой элемент, равны нулю. Следовательно,

где индексы принимают значения Множитель является общим для всех слагаемых, поэтому его можно вынести за знак суммы. С другой стороны, так как единица, стоящая на первом месте, не образует ни одной инверсии, то и значит,

где суммирование распространяется на всевозможные перестановки чисел . А так как

сумма

равна определителю порядка, получающемуся из вычеркиванием первой строки и первого столбца, т. е. равна то

Рассмотрим теперь общий случай, когда все элементы столбца определителя кроме равны нулю, т. е. когда определитель имеет вид

Переместим строку определителя на первое место, последовательно меняя ее местами с наконец, с первой строкой. На это потребуется транспозиций строк, при каждой из которых определитель умножается на —1. Затем переместим столбец определителя на первое место, последовательно меняя его местами с наконец, с первым столбцом. Для этого потребуется транспозиций столбцов, при каждой из которых определитель тоже умножаетси на конечяом счете мы получим определитель

отличающийся от определителя только знаком Но, как мы показали, определитель равен произведению на определитель порядка, получающийся из вычеркиванием первого столбца и первой строки, или, что то же самое, получающийся из вычеркиванием столбца и строки, т. е.

и, следовательно,

Доказанная теорема дает возможность, используя еще следствие из свойства 4, вычислить определитель какого угодно порядка.

Призер Вычислить определитель пятогр порядка:

Решение. Вычитая из первого столбца определителя удвоенный третий (иными словами, прибавляя к первому столбцу третий, умноженный на —2), из четвертого вычитая утроенный третий и из пятого — третий столбец, получим

В полученном определителе четвертого порядка будем таким же образом «делать нули»: прибавим к первому столбцу четвертый, умноженный на 5, от второго отнимем четвертый и к третьему прибавим четвертый, умноженный на 4:

Мы пришли к определителю третьего порядка, который уже можно вычислить либо непосредственно, либо сведя его к определителю второго порядка: прибавив ко второй строке удвоенную первую, получим

значит, определитель