Главная > Линейная алгебра и некоторые ее приложения
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 3. Операции над тензорами

1. Сложение. Пусть даны два тензора одинакового строения и Сумма их в каждой системе координат определяется равенством

Легко видеть, что сумма двух тензоров будет тензором такого же строения.

2. Умножение. Пусть даны два тензора

какого угодно строения. Произведение их в каждом базисе определяется как совокупность чисел

Покажем, что произведение двух тензоров — тоже тензор (в нашем случае валентности раз ковариантный и раз контравариантный). Действительно, в новом базисе

и

поэтому.

Умножение тензоров не коммутативно. Рассмотрим, например, произведение двух одновалентных ковариантных тензоров при Координаты одного: координаты другого: Произведение — дважды ковариантный тензор, координаты которого

Произведение тех же тензоров в обратном порядке — дважды ковариантный тензор с координатами

Он, вообще говоря, отличен от первого.

Так как скаляр, т. е. величина, во. всех системах координат имеющая одно и то же значение, является тензором нулевой валентности, то при умножении тензора на скаляр (т. е. при умножении всех координат тензора на этот скаляр) получается тензор того же строения.

Вмчитание тензоров одинакового строения сводится к умножению вычитаемого на — 1 и сложению (при этом получается, очевидно, тензор того же строения).

3. Свертывание тензоров. Эта специфическая для тензоров операция определяется следующим образом. Пусть дан, например, тензор Выделим в нем два какие-нибудь индекса, например, (один наверху, другстй внизу), отберем среди всех координат тензора те, у которых эти индексы одинаковы, и сложим их все. Мы получим

свертку тензора индексам и например, тензор при имеет восемь координат Свертывая этот тензор по индексам и будем иметь

или, подробнее:

Свертывая тот же тензор по индексам и получим т. е.

- Покажем, что в результате свертывания тензора получается снова тензор, имеющий на один нижний и на один верхний индекс меньше, чем исходный тензор. Произведем, например, свертывание тензора по индексам Пусть . В новом базисе координаты исходного тензора имеют вид

Выбрав координаты, у которых и просуммировав по получим

Но Следовательно,

В общем случае доказательство аналогично.

Операция свертывания может быть применена к тензору и несколько раз. Так, например, свертывая тензор при по индексам и и по индексам и получим тензор или, подробнее:

При -кратном свертывании тензора раз ко- и раз контравариантного получается, очевидно, инвариант, или скаляр, — величина, не зависящая от выбора базиса. Это — один из способов получения численных инвариантов. Так, при свертывании тензора определяющего линейный оператор , получаем инвариант называемый следом оператора (след -это сумма элементов главной диагонали матрицы А; его инвариантность мы уже установили в § 8 главы III: -это коэффициент при характеристического многочлена оператора ).

Особенно часто операция свертывания применяется по отношению к произведению двух тензоров по индексам, взятым в разных сомножителях. Если произведение тензоров а) и свертывается по индексам и , мы будем говорить короче, что тензоры свертываются по индексам и Так, например, при свертывании тензора а, (определяющего линейный функционал вектором получается скаляр равный, очевидно,

При двукратном свертывании тензора определяющего билинейный функционал с парой векторов получается скаляр равный значению функционала для данных векторов х и у.

При свертывании тензора определяющего линейный оператор с вектором получается контравариантный тензор Как следует из § 1 главы III, это — заданный своими координатами преобразованный вектор

Пусть даны два тензора определяющие соответственно линейные операторы Свертка их

по индексам и — смешанный двухвалентный тензор тоже определяющий, следовательно, некоторый линейный оператор 3). Легко видеть, что оператор 2) равен произведению операторов смысле § 2 главы III). Свертка тех же тензоров по индексам и соответствует произведению тех же операторов в обратном порядке.

4. Симметрирование и альтернирование тензора. Пусть — произвольный тензор, у которого выделены какие-то индексов — все только верхние или только нижние. Тогда тензор

где, суммирование распространено по всевозможным перестановкам выделенных индексов, будет, очевидно, симметрическим, а тензор

— кососимметрическим. Операции получения тензоров и из данного тензора называются соответственно симметрированием и альтернированием тензорапо индексам

Так, на стр. 191 билинейный функционал был получен симметрированием, а -альтернированием (билинейного функционала

1
Оглавление
email@scask.ru