§ 3. Операции над тензорами

1. Сложение. Пусть даны два тензора одинакового строения и Сумма их в каждой системе координат определяется равенством

Легко видеть, что сумма двух тензоров будет тензором такого же строения.

2. Умножение. Пусть даны два тензора

какого угодно строения. Произведение их в каждом базисе определяется как совокупность чисел

Покажем, что произведение двух тензоров — тоже тензор (в нашем случае валентности раз ковариантный и раз контравариантный). Действительно, в новом базисе

и

поэтому.

Умножение тензоров не коммутативно. Рассмотрим, например, произведение двух одновалентных ковариантных тензоров при Координаты одного: координаты другого: Произведение — дважды ковариантный тензор, координаты которого

Произведение тех же тензоров в обратном порядке — дважды ковариантный тензор с координатами

Он, вообще говоря, отличен от первого.

Так как скаляр, т. е. величина, во. всех системах координат имеющая одно и то же значение, является тензором нулевой валентности, то при умножении тензора на скаляр (т. е. при умножении всех координат тензора на этот скаляр) получается тензор того же строения.

Вмчитание тензоров одинакового строения сводится к умножению вычитаемого на — 1 и сложению (при этом получается, очевидно, тензор того же строения).

3. Свертывание тензоров. Эта специфическая для тензоров операция определяется следующим образом. Пусть дан, например, тензор Выделим в нем два какие-нибудь индекса, например, (один наверху, другстй внизу), отберем среди всех координат тензора те, у которых эти индексы одинаковы, и сложим их все. Мы получим

— свертку тензора индексам и например, тензор при имеет восемь координат Свертывая этот тензор по индексам и будем иметь

или, подробнее:

Свертывая тот же тензор по индексам и получим т. е.

- Покажем, что в результате свертывания тензора получается снова тензор, имеющий на один нижний и на один верхний индекс меньше, чем исходный тензор. Произведем, например, свертывание тензора по индексам Пусть . В новом базисе координаты исходного тензора имеют вид

Выбрав координаты, у которых и просуммировав по получим

Но Следовательно,

В общем случае доказательство аналогично.

Операция свертывания может быть применена к тензору и несколько раз. Так, например, свертывая тензор при по индексам и и по индексам и получим тензор или, подробнее:

При -кратном свертывании тензора раз ко- и раз контравариантного получается, очевидно, инвариант, или скаляр, — величина, не зависящая от выбора базиса. Это — один из способов получения численных инвариантов. Так, при свертывании тензора определяющего линейный оператор , получаем инвариант называемый следом оператора (след -это сумма элементов главной диагонали матрицы А; его инвариантность мы уже установили в § 8 главы III: -это коэффициент при характеристического многочлена оператора ).

Особенно часто операция свертывания применяется по отношению к произведению двух тензоров по индексам, взятым в разных сомножителях. Если произведение тензоров а) и свертывается по индексам и , мы будем говорить короче, что тензоры свертываются по индексам и Так, например, при свертывании тензора а, (определяющего линейный функционал вектором получается скаляр равный, очевидно,

При двукратном свертывании тензора определяющего билинейный функционал с парой векторов получается скаляр равный значению функционала для данных векторов х и у.

При свертывании тензора определяющего линейный оператор с вектором получается контравариантный тензор Как следует из § 1 главы III, это — заданный своими координатами преобразованный вектор

Пусть даны два тензора определяющие соответственно линейные операторы Свертка их

по индексам и — смешанный двухвалентный тензор тоже определяющий, следовательно, некоторый линейный оператор 3). Легко видеть, что оператор 2) равен произведению операторов смысле § 2 главы III). Свертка тех же тензоров по индексам и соответствует произведению тех же операторов в обратном порядке.

4. Симметрирование и альтернирование тензора. Пусть — произвольный тензор, у которого выделены какие-то индексов — все только верхние или только нижние. Тогда тензор

где, суммирование распространено по всевозможным перестановкам выделенных индексов, будет, очевидно, симметрическим, а тензор

— кососимметрическим. Операции получения тензоров и из данного тензора называются соответственно симметрированием и альтернированием тензорапо индексам

Так, на стр. 191 билинейный функционал был получен симметрированием, а -альтернированием (билинейного функционала