§ 12. Тензорное произведение векторных пространств

Здесь мы предполагаем, что читатель знаком с понятием. тензора, введенным в главе VIII, и с соответствующими обозначениями. Этот и следующий параграфы можно и пропустить без ущерба для понимания дальнейшего; однако от этого несколько пострадает полнота проводимых дальше доказательств.

Если воспользоваться введенными в главе VIII обозначениями, то тензорное произведение матриц порядка порядка где верхний индекс — номер строки, а нижний — номер столбца, есть матрица

элементы которой (их можно обозначить короче: ) занумерованы двумя парами индексов причем при лексикографическом упорядочении этих пар

верхняя пара определяет номер строки, а нижняя — номер столбца. Пусть матрицы — невырожденные, и пусть Покажем, что матрицей, обратной к тензорному произведению , будет матрица, равная тензорному произведению обратных матриц т. е. что Действительно, элемент строки и столбца произведения вид

(в тензорных обозначениях — по индексам ведется суммирование), где — символ Кронекера (ср. § 1 главы VIII), равный 1, если пары тождественны, т. е. если и равный 0, если или если Таким образом произведение есть единичная матрица порядка и значит, матрицы и взаимно обратиы (откуда, в частности, видно, что если то и ).

Дадим теперь определение тензорного произведения векторных пространств. Пусть имеются два пространства: — размерности размерности . Выберем в пространствах соответственно базисы и рассмотрим линейное

пространство размерности с базисом где . (Заметьте, что мы никак, разумеется, не перемножаем векторы взятые из разных пространств — базис пространства образован просто парами векторов, причем пара обозначена через Элементы этого базиса упорядочим лексикографически:

и обозначим через (Ясно, что векторы взятые в этом, лексикографическом, порядке, можно занумеровать и числами однако нам будет удобнее нумеровать их парами чисел.)

Предположим теперь, что в пространстве мы перешли к новому базису матрицей перехода (и значит, не забывайте о суммировании по индексу а в пространстве — к новому базису с матрицей перехода (и значит, По определению, будем считать, что при этом в пространстве совершается переход к новому базису с матрицей перехода, равной тензорному произведению матриц перехода в пространствах т. е. что в пространстве соответствующий новый базис будет образован векторами

(Заметьте, что правая часть формально является произведением сумм ). Так определенное пространство R называется тензорным, или кроне о в с к им, произведением пространств и обозначается

Из доказанного выше вытекает, что если — матрица перехода к новому базису в пространстве то обратной к ней будет матрица