ГЛАВА V. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§ 1. Линейный функционал

Определение 1. Линейный оператор отображающий векторное пространство в числовое поле называется линейным функционалом, или линейной функцией.

Таким образом, если — линейный функционал, то для каждого вектора определено число из основного поля так, что выполнены следующие условия:

где х и у — произвольные векторы из

Для того чтобы найти выражение линейного функционала в координатах, выберем в пространстве базис Если произвольный вектор из то

Обозначив где получим

Таким образом, при фиксированном базисе линейный функционал представляется линейной формой, т. е. выражением вида

Если пространство евклидово, а базис — ортонормированный, то - скалярному

произведению вектора х и некоторого (зависящего только от но не от вектора

Легко видеть, что верно и обратное: если в евклидовом векторном пространстве задан вектор то — скалярное произведение вектора х и вектора а — является линейным функционалом, так хкак