§ 6. Группа вращений куба О

Легко видеть, что куб переходит в себя при следующих нетождественных вращениях:

а) При трех поворотах на углы вокруг каждой из трех прямых типа (рис. 33, а), соединяющих центры противоположных граней (оси симметрии четвертого порядка). Всего таких поворотов

б) При двух поворотах вокруг каждой из четырех диагоналей (осей симметрии третьего порядка, рис. 33, б) на углы (правильный треугольник при этом переходит в себя). Всего таких поворотов

в) При шести поворотах на угол — вокруг каждой из прямых тица (рис. 33, в), соединяющих середины

противоположных ребер (оси симметрии второго порядка).

Всего, вместе с тождественным преобразованием, мы нашли поворота, при которых куб переходит в себя. Из доказываемой ниже теоремы будет вытекать, что это — все вращения, при которых куб переходит в себя.,

Рис. 33.

Теорема. Группа О вращений куба изоморфна симмётрической группе (и значит, порядок этой группы равен 24).

Доказательство. При каждом повороте, при котором куб переходит в себя, каждая его диагональ переходит в одну из диагоналей. У куба 4 диагонали, поэтому каждому вращению куба отвечает определенная подстановка его диагоналей, а произведению вращений — произведение соответствующих подстановок.

Остается доказать, что разным вращениям куба отвечают разные подстановки диагоналей. Действительно, если два разных вращения куба приводят к одной и той же подстановке диагоналей, то при (нетождественном) повороте каждая диагональ куба переходит в себя (хотя, возможно, меняются местами концы некоторых диагоналей). Покажем, что такое вращение, при котором каждая диагональ куба переходит в себя, является тождественным.

Предположим, - что при повороте у все диагонали куба перешли в себя. В частности, перейдут в себя диагонали и (рис. 34), а тогда перейдет в себя

и содержащая их плоскость Значит, ось этого вращения либо лежит в плоскости причем поворот этот — на угол , либо к ней перпендикулярна. Но в первом случае переходят в себя только прямые, направленные по оси вращения, и прямые, перпендикулярные к оси. Однако прямоугольник — не квадрат, и значит, его диагонали не перпендикулярны друг другу. Во втором случае, т. е. если ось вращения перпендикулярна плоскости она совпадает с прямой , а тогда не переходят в себя (переставляются) диагонали и

Рис. 34.

Таким образом, группа вращений куба изоморфна симметрической группе

Найдем теперь, как элементы группы О разбиваются на классы, сопряженных элементов.

Три оси симметрии четвертого порядка, очевидно, эквивалентны, и значит, повороты вокруг них на углы сопряжены между собой. Далее, эти оси являются двусторонними (опрокидываются при поворотах на угол вокруг других осей четвертого порядка), и значит, повороты вокруг них на углы тоже сопряжены не только между собой, но и с поворотами на углы Поворот на угол можно обозначить через поворот на угол — через Мы нашли класс, состоящий из шести элементов, который можно обозначить символом или даже, короче, — символом

Все повороты вокруг тех же осей четвертого порядка на углы сопряжены между собой (и только между собой). Число таких поворотов равно 3, соответствующий класс можно обозначить через .

Далее, все оси третьего порядка (диагонали) между собой эквивалентны (переходят друг в друга, например, при поворотах вокруг осей четвертого порядка). При этом каждая диагональ является двусторонней осью (опрокидывается при поворотах вокруг перпендикулярных

к ней осей второго порядка. Значит, все 8 поворотов вокруг диагоналей на углы сопряжены между собой. Соответствующий класс можно обозначить через или просто через

Наконец, шесть осей второго порядка переходят друг в друга, например, при поворотах вокруг осей четвертого порядка, и значит, все шесть поворотов вокруг них на угол сопряжены между собой. Этот класс можно обозначить

Учитывая отдельный класс, образуемый тождественным преобразованием, получаем всего пять классов сопряженных элементов, состоящих из одного шести трех восьми и шести элементов.