§ 4. Определенные формы

Определение 2. Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определенной, если при всех и положительно (отрицательно) полуопределенной, если при всех

Так, если — скалярное произведение в евклидовом пространстве, то соответствующая квадратичная форма (скалярный квадрат вектора является положительно определенной.

Ясно, что положительно определенная квадратичная форма приводится к сумме квадратов с положительными коэффициентами, а положительно полуопределенцая форма — с неотрицательными коэффициентами (некоторые из которых могут равняться нулю). Важным условием положительной определенности формы является следующая

Теорема 3 (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы были положительны все «угловые миноры» матрицы т. е. чтобы имели место неравенства

Доказательство проведем индукцией по числу входящих в форму переменных.

Для квадратичной формы, зависящей от одной переменной, и наше утверждение очевидно. Предположим, что,

оно справедливо для всех квадратичных форм, зависящих от переменных, и рассмотрим квадратичную форму зависящую от переменных

1. Доказательство необходимости. Если представить положительно определенную форму в виде

то квадратичная форма зависящая от переменных (и рассматриваемая, конечно, в мерном пространстве), будет положительно определенной, так как если при то при мы имели бы По предположению индукции, все угловые миноры матрицы квадратичной фбрмы положительны, т. е.

Остается доказать, что и

Мы знаем, что положительно определенная квадратичная форма в некотором базисеег, приводится к сумме квадратов

В этом новом базисе определитель ее матрицы равен 1 и, значит, он больше нуля. Однако при переходе к новому базису матрица билинейной формы преобразуется по формуле (стр. 189)

где А — ее матрица в старом базисе, новом и С — матрица перехода от старого базиса к новому. Следовательно,

Но так как то и

2. Доказательство достаточности. Предположим, что все угловые миноры матрицы квадратичной формы

положительны:

и докажем, что квадратичная форма положительно определенная. Из предположения индукции вытекает, прежде всего, положительная определенность квадратичной формы переменных (в -мерном пространстве). Следовательно, в некотором новом базисе приводится к сумме кзадратов:

Сделав соответствующую замену переменных и положив, кроме гого, мы получим

где — какие-то новые коэффициенты. Далее имеем

где, очевидно, и полагая

(что соответствует переходу к новому базису, с матрицей, определитель которой равен единице), получим

Определитель матрицы этой квадратичной формы равен а так как знак его, как видно из формулы (5), совпадает со знаком то и значит, квадратичная форма — положительно оцределенная. Теорема доказана.

Теперь нетрудно найти и условия отрицательной определенности квадратичной формы Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы квадратичная форма

была положительно определенной, а значит — чтобы все угловые миноры матрицы

т. е.

были положительны. Но это означает, что

т. е. что знаки угловых миноров матрицы А чередуются, начиная со знака минус.

Пример. При исследовании на экстремум функции

находим, что ее частные производные обращаются в нули при

Второй дифференциал функции имеет вид

В скобках — квадратичная форма относительно дифференциалов независимых переменных Угловые миноры ее матрицы

положительны Следовательно, эта квадратичная форма положительно определенная, и заданная функция имеет в точке (1, 2, 0) минимум.