§ 2. Определение и простейшие свойства тензоров

Пусть в n-мерном векторном пространстве в каждом базисе задана система из чисел нумерованных нижними и верхними индексами, которые независимо друг от друга пробегают значения предположим, что при переходе к новому базису с матрицей перехода (3) эти числа преобразуются по закону

Тогда мы говорим, что имеем -валентный тензор, раз ковариантный и раз контравариантный. Ч исла называются координатами тензора.

Скаляр, т. е. величину, во всех системах координат имеющую одно и то же значение, можно рассматривать как тензор нулевой валентности.

Ясно, что если координаты двух тензоров одинакового строения (т. е. таких, у которых одинаковы числа ко- и контравариантных индексов) совпадают в одном каком-нибудь базисе, то они совпадают и во всех остальных (и значит, эти тензоры равны), так как при

переходе к новому базису координаты обоих тензоров преобразуются одинаково. Поэтому для того, чтобы задать тензор данного строения, достаточно задать его координаты в какой-нибудь одной системе координат. А это можно сделать без каких-либо ограничений: в качестве координат тензора в данном базисе можно выбрать совершенно произвольные числа. Действительно, пусть в базисе произвольно заданы чисел Тогда координаты соответствующего тензора в любом другом базисе найдутся по формуле (9), и нам остается только проверить, что при переходе от любого любому другому базису координаты полученного тензора тоже преобразуются по формуле (9).

Покажем это на примере трехвалентного тензора Пусть при переходе от базиса к базису имеем

а при переходе от базиса к базису

Из равенства (10) получаем

a из равенства (11) —

Здесь матрица — обратная к матрице а матрица — обратная к Из равенств (11) и (12) следует, что

а из равенств (10) и (13) — что

Таким образом, матрицей перехода от базиса к базису, будет матрица

а обратный к ней - матрица

Мы имеем

и

Из равенства. (14) получаем

Подставляя это значение в равенство (15), будем иметь

т. е. формулы преобразования координат тензора при переходе от базиса к базису имеют в точности такое строение, какое требуется.

В общем случае доказательство аналогично.

Из сказанного вытекает, что если, например, — произвольный одновалентный контравариантный тензор, то его можно рассматривать как совокупность координат некоторого вектора. Действительно, если в одном каком-нибудь базисе взять вектор с координатами то и во всех остальных базисах координаты этого вектора и заданного тензора совпадут. Точно так же каждый дважды ковариантный тензор можно рассматривать, как совокупность коэффициентов некоторой билинейной формы, а каждый смешанный двухвалентный тензор как совокупность элементов матрицы некоторого линейного оператора, и т. д.

-Тензор, координаты которого не меняют своего значения при транспозиции любых двух индексов из данного множества индексов (причем все эти индексы — только верхние или только нижние), называется симметрическим по этим индексам. Примером симметрического тензора может служить совокупность коэффициентов симметрической билинейной формы.

Свойство тензора быть симметрическим не зависит от выбора базиса Рассмотрим, например, трехвалентный тензор и пусть в базисе ей

Тогда в базисе

Заменяя во втором равенстве на найдем, что

Но сумма не зависит от обозначения индекса, по которому производится суммирование; поэтому, заменяя на на получим

Кососимметрический по данным индексам (только верхним или только нижним) называется тензор, координаты которого изменяют знак при любой транспозиции индексов из выделенной группы (не меняясь при этом по абсолютной величине). Свойство тензора быть кососимметрическим по данной группе индексов тоже не зависит от выбора базиса.

Примером кососимметрического тензораможет служить кососимметрическая билинейная форма.