ГЛАВА VII. ИССЛЕДОВАНИЕ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

В трех первых параграфах этой главы рассматривается вещественное двумерное пространство (плоскость) с обьгчной, евклидовой метрикой, а в последнем параграфе — трехмерное вещественное евклидово пространство.

§ 1. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду

Установим на плоскости прямоугольную декартову систему координат и рассмотрим общее уравнение второй степени

Множество точек, координаты которых удовлетворяет уравнению (1), называется линией (или кривой) второго порядка. Как известию, при некоторых частных значениях коэффициентов уравнение (1) будет уравнением эллипса гиперболы - параболы Мы докажем, что уравнение (1) всегда является уравнением одной из этих кривых: эллипса, гиперболы или параболы (не считая случаев вырождения — пары прямых, если левая часть уравнения распадается в произведение двух линейных множителей, точки или тустого множества», вовсе не содержащего точек).

Обозначим через единичные векторы, направленные по осям выбранной (прямоугольной) системы координат. Группу старших членов

уравнения (1) можно рассматривать как квадратичную

форму от координат вектора Как было показано в § 5 главы VI, эта квадратичная форма в некотором (ортонормированном же) базисе приводится к сумме квадратов

где и — собственные значения матрицы

а — соответствующие им собственные векторы.

Пусть вектор получается из вектора поворотом на угол против часовой стрелки. Так как вектор ортогонален ей а ортогонален то вектора получается из вектора либо поворотом на угол либо поворотом на угол и симметрией относительно начала координат. Во втором случае заменим его на вектор который тоже будет собственным вектором матрицы с тем же собственным значением если

Таким образом, можно считать, что новый базис получается из старого поворотом на некоторой угол против часовой стрелки, т. е. что

Но в таком случае старые координаты (вектора, а значит, и соответствующей точки) и новые координаты связаны соотношениями

Подставив значения (5) в уравнение мы приведем это уравнение к виду

где — некоторые новые коэффициенты. Эта операция называется отнесением линии к главным осям

из дальнейшего будет видно, что если линия (1) представляет собой эллипс или гиперболу, то новые оси координат параллельны главным осям кривой.

Коэффициенты — это собственные значения матрицы (4); их можно найти из уравнения

Они вещественны, так как матрица (4) симметрическая (теорема 4 главы V). Произведение собственных значений равно свободному члену квадратного уравнения (7), т. е. равно определителю

Рассмотрим теперь отдельно два случая: и . Преобразуем уравнение (6) следующим образом:

где . Сделаем подстановку

Эта подстановка отвечает переносу начала координат в точку при сохранении направлении осей. Уравнение (6) приведется тогда к виду

Предположим сначала, что (т. е. что ). В этом случае геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (8), представляет собой эллипс (рис. 15, а), если знак с противоположен знаку оно сводится к одной точке, если и совсем

не содержит точек, если знак с совпадает со знаком

Пусть теперь (т. е. ); тогда (8) будет уравнением гиперболы, если (рис. 15, б), и пары пересекающихся прямых, если

Рис. 15.

В случае I линия представляет собой центральную кривую второго порядка (легко видеть, что для содержащей хотя бы одну точку кривой (8) начало координат является центром симметрии).

II. , и пусть, например, . Уравнение (1) приводится к виду

Если то, выделив полный квадрат, будем иметь

После переноса начала координат

уравнение (9) принимает вид

Это — каноническое уравнение параболы (рис. 16). В случае, когда коэффициент уравнение (9) приводится к виду

и после подстановки

принимает следующий вид:

где

Рис. 16.

Это — пара параллельных прямых, если пара совпадающих прямых, если и «пустое, множество точек (не содержащее ни одной точки) при

Таким образом, утверждение, сформулированное в начале параграфа, доказано.