§ 4. Основное соотношение

Лемма. Пусть — регулярное представление группы, Тогда каждое неприводимое представление Г, этой группы содержится в столько раз, какова его степень.

Доказательство. Пусть - характер (регулярного) представления — произвольное

неприводимое представление группы степени с характером Тогда

Но, как мы уже знаем (см. § 3), скалярное произведение показывает, сколько раз (неприводимое) представление содержится в (регулярном) представлении

Теорема 2. Сумма квадратов степеней всех неприводимых (не изоморфных между собой) представлений конечной группы равна порядку группы. Иными словами, если — (конечная) группа порядка и — степени всех ее неприводимых представлений, то

Доказательство. Пусть — регулярное представление группы . Если — все неприводимые представления группы — их характеры и — их степени, а — характер регулярного представления то

Скалярный квадрат равен

Но, по доказанному в конце § 2, скалярный квадрат регулярного представления равен Следовательно,

Заметим, что среди чисел могут быть и равные. Так, для группы имеем Поскольку порядок группы равен и то эти представления — это все неприводимые представления группы

Так как у каждой группы имеется единичное представление, то среди чисел по крайней мере одно равно 1.

Можно доказать, что все являются делителями порядка группы.