§ 2. Характеры неприводимых представлений

Этот параграф, содержащий дальнейшие следствия леммы Шура, можно назвать ее «Эпилогом».

Теорема 1. Характеры неприводимых не изоморфных между собой представлений конечной группы образуют ортонормированную систему функций (отсюда, в частности, будет следовать, что конечная группа имеет конечное число неприводимых представлений).

Как и лемма Шура, эта теорема состоит из двух частей:

I. Если — характеры неприводимых не изоморфных между собой представлений и группы то

Действительно, пусть — порядок группы

Тогда

так как каждое слагаемое этой суммы равно нулю (см. стр. 351).

II. Если Г — неприводимое представление группы с характером то

Действительно,

так как при (см. стр. 353). Теорема доказана.

Так, для группы (см. таблицу на стр. 351) имеем

Но, с другой стороны,

значит, представления этой группы не являются неприводимыми.

Найдем скалярный квадрат характера регулярного представления произвольной группы порядка Выше мы видели, что если Следовательно,

отсюда снова получаем, что регулярное представление любой (не состоящей из одной единицы) группы приводимо (ср. стр. 341).