§ 3. Подпредставление

Определение 3. Пусть Г — представление группы пространство представления подпространство инвариантное относительно в с операторов, соответствующих элементам группы (в таком случае говорят, что подпространство инвариантно относительно группы Тогда каждому элементу можно сопоставить оператор действующий в подпространстве Эти операторы также образуют представление группы (поскольку, если то для каждого и равенство

выполняется для всех векторов так как оно справедливо для любого вектора Представление группы в пространстве называется подпредставлением представления Г.

Пример. Рассмотрим двумерно представление циклической группы второго порядка:

(Легко видеть, что , вначит, это действительно — представление.) Пусть — тот базис пространства в котором взяты эти матрицы. Вектор является собственным для обоих

преобразораний так как

Следовательно, порожденное им одномерное подпространство инвариантно относительно группы Соответствующее подпредставление является одномерным единичным представлением группы

или, в матричной форме: