§ 5. Унитарное представление. Приводимые и неприводимые представления

Определение 5. Представление Г группы называется унитарным; если в пространстве представления можно так определить скалярное произведение, что это пространство станет евклидовым, а все операторы где будут унитарными.

Лемма. Каждое представление конечной группы является унитарным.

Доказательство. Можно считать, что пространство евклидово: мы просто положим, по определению, скалярное произведение векторов

Упвп равным

Ясно, что относительно этой метрики пространство будет евклидовым, а базис — ортонормированным, так как для всех и при

Если в этой евклидовой метрике все преобразования унитарны, то наше утверждение доказано. В противном случае мы изменим скалярное произведение в полагая, по определению,

где суммирование ведется по всем элементам а группы (В формуле — новое скалярное произведение векторов — старое скалярное произведение.)

Проверим, что функция удовлетворяет всем условиям, которые должны выполняться для скалярного произведения в комплексном евклидовом пространстве. Имеем

4. Если вектор , то так как оператор — невырожденный, то и а тогда и значит, вся сумма больше нуля С другой стороны, если то очевидно, равно 0. Таким образом, скалярный квадрат и из равенства вытекает, что

Покажем, что в новой метрике все операторы, соответствующие элементам группы унитарны, т. е. что для каждого Действительно,

Но так как Г — представление группы и последняя сумма равна Далее, если а пробегает все элементы (конечной!) группы G:

а - один из этих элементов, скажем, — то произведения,

— это тоже все элементы группы но взятые, вообще говоря, в каком-то другом порядке (из равенства немедленно вытекало бы, что Следовательно,

и окончательно

В дальнейшем, говоря о представлении (конечной) группы, мы всегда будем пользоваться тем, что оно унитарно.

Определение 6. Представление Г группы в пространстве называется приводимымесли в имеется нетривиальное (т. е. отличное от всего пространства и от «пространства размерности О», образованного нулевым вектором) подпространство инвариантное относительно (т. е. инвариантное относительно всех преобразований где Если такого подпространства нет, то представление Г неприводимо.

Ясно, что одномерное представление всегда неприводимо.

Теорема 1. Пусть Г — приводимое представление конечной группы в пространстве и — подпространство инвариантное относительно группы Тогда найдется такое, тоже инвариантное относительно подпространство что

(Таким образом, для того чтобы представление конечной группы было разложимо в прямую сумму подпредставлений, необходимо и достаточно, чтобы оно было приводимым.)

Доказательство. По лемме мы можем считать пространство евклидовым, а все операторы соответствующие элементам группы унитарными.

Тогда ортогональное дополнение подпространства тоже инвариантно относительно группы (см. стр. 182) и (см. стр. 156).

Для бесконечных групп последняя теорема, вообще говоря, неверна. Рассмотрим бесконечную циклическую группу — аддитивную группу целых чисел. Отображение Г, ставящее в соответствие числу матрицу

является (двумерным) представлением этой группы, так как

Одномерное подпространство инвариантно относительно всех преобразований но него не найдется инвариантного дополнительного подпространства, так как (двумерное) пространство представления Г не имеет никаких других подпространств, инвариантных относительно Действительно, собственные значения преобразования находятся из уравнения

и значит, Соответствующие собственные векторы удовлетворяют уравнениям

т.е. это — только вейторы, коллинеарные

Теорема 2. Всякое представление конечной группы либо неприводимо, либо является прямой суммой неприводимых представлений.

Доказательство. Если представление Г группы в пространстве приводимо, то, по теореме 1, его можно разложить в прямую сумму представлений меньших размерностей. Если какое-нибудь из слагаемых приводимо, с ним поступим так же, и т. д. Этот процесс не может продолжаться до бесконечности, так как размерности слагаемых уменьшаются, а размерность пространства представления конечна. Окончательно наше представление разложится в прямую сумму неприводимых представлений: