§ 5. Изоморфизм векторных пространств

Пусть -мерное векторное пространство и — некоторый его базис. По теореме 1, каждый вектор однозначно представляется в виде

линейной комбинации

векторов

Если вектору х поставить в соответствие строку то, как мы видели в § 4, при сложении векторов соответствующие им строки тоже складываются, а при умножении вектора на число соответствующая ему строка умножается на то же число.

Таким образом, отправляясь от самого общего определения -мерного векторного пространства, мы пришли к тому, что это пространство «устроено» в некотором смысле так же, как пространство всевозможных строк из чисел. Значит, все -мерные векторные пространства над одним и тем же полем устроены одинаково; они, как принято говорить, изоморфны между собой. Точный смысл этого термина содержится в следующем определении.

Определение 5. Векторные пространства и над одним и тем же полем (в частности, два вещественных или два комплексных векторных пространства) называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие такое, что если соответствует и , где то

и при любом

(или, короче, ).

Из этого определения сразу видно, что два векторных пространства, изоморфных третьему, изоморфны между собой.

Имеет место следующая

Теорема 4. Для того чтобы два векторных пространства (определенных над одним и тем же полем

были изоморфны, необходимо и достаточно, чтобы они имели одинаковые размерности.

Доказательство достаточности. Пусть даны два -мерных векторных пространства и над полем Выберем в каждом из них по базису:

Вектору х, имеющему в базисе координаты поставим в соответствие вектор из имеющий те же самые координаты в базисе Тогда, поскольку при сложении векторов их соответственные координаты складываются, а при умножении на число — умножаются на то. же число, будем иметь: если

то

и для любого

Следовательно, изоморфно

Доказательство необходимости. Для того чтобы доказать, что векторные пространства и а размерностей не изоморфны между собой, заметим прежде всего, что при «изоморфном» соответствии между двумя пространствами нулевому вектору одного пространства соответствует нулевой вектор другого. Действительно, пусть — нулевой вектор из и — соответствующий ему вектор из — произвольный вектор из и где Тогда, по определению,

Но а так как и соответствие между и — взаимно однозначное, то

т е. — нулевой вектор пространства

Если пространства и изоморфны и векторам соответствуют векторы пространства то из линейной зависимости векторов вытекает, что и векторы тоже линейно

зависимы, и обратно. Действительно, пусть, например, Тогда вектору пространства равному в пространстве соответствует вектор , значит,

Следовательно максимальное число линейно независимых векторов в изоморфных пространствах должно быть одинаковым, а значит, размерности этих пространств

— равные. (В частности, бесконечномерное пространства не изоморфно никакому пространству конечной размерности.)

В силу теоремы 4 единственной характеристикой конечномерного векторного пространства, определенного над данным полем является его размерность. По своей алгебраической структуре все -мерные векторные пространства над полем одинаковы. Можно, следовательно, сказать, что -мерное векторное пространство — это пространство всевозможных строк из чисел.

Поскольку мы уже условились, что основное поле — фиксированное числовое поле, то -мерное векторное пространство можно обозначать просто через одно обозначение для всех -мерных векторных пространств над одним и тем же полем F законно, потому что все -мерные векторные пространства над полем одинаковы (изоморфны).