Главная > Линейная алгебра и некоторые ее приложения
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 5. Изоморфизм векторных пространств

Пусть -мерное векторное пространство и — некоторый его базис. По теореме 1, каждый вектор однозначно представляется в виде

линейной комбинации

векторов

Если вектору х поставить в соответствие строку то, как мы видели в § 4, при сложении векторов соответствующие им строки тоже складываются, а при умножении вектора на число соответствующая ему строка умножается на то же число.

Таким образом, отправляясь от самого общего определения -мерного векторного пространства, мы пришли к тому, что это пространство «устроено» в некотором смысле так же, как пространство всевозможных строк из чисел. Значит, все -мерные векторные пространства над одним и тем же полем устроены одинаково; они, как принято говорить, изоморфны между собой. Точный смысл этого термина содержится в следующем определении.

Определение 5. Векторные пространства и над одним и тем же полем (в частности, два вещественных или два комплексных векторных пространства) называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие такое, что если соответствует и , где то

и при любом

(или, короче, ).

Из этого определения сразу видно, что два векторных пространства, изоморфных третьему, изоморфны между собой.

Имеет место следующая

Теорема 4. Для того чтобы два векторных пространства (определенных над одним и тем же полем

были изоморфны, необходимо и достаточно, чтобы они имели одинаковые размерности.

Доказательство достаточности. Пусть даны два -мерных векторных пространства и над полем Выберем в каждом из них по базису:

Вектору х, имеющему в базисе координаты поставим в соответствие вектор из имеющий те же самые координаты в базисе Тогда, поскольку при сложении векторов их соответственные координаты складываются, а при умножении на число — умножаются на то. же число, будем иметь: если

то

и для любого

Следовательно, изоморфно

Доказательство необходимости. Для того чтобы доказать, что векторные пространства и а размерностей не изоморфны между собой, заметим прежде всего, что при «изоморфном» соответствии между двумя пространствами нулевому вектору одного пространства соответствует нулевой вектор другого. Действительно, пусть — нулевой вектор из и — соответствующий ему вектор из — произвольный вектор из и где Тогда, по определению,

Но а так как и соответствие между и — взаимно однозначное, то

т е. — нулевой вектор пространства

Если пространства и изоморфны и векторам соответствуют векторы пространства то из линейной зависимости векторов вытекает, что и векторы тоже линейно

зависимы, и обратно. Действительно, пусть, например, Тогда вектору пространства равному в пространстве соответствует вектор , значит,

Следовательно максимальное число линейно независимых векторов в изоморфных пространствах должно быть одинаковым, а значит, размерности этих пространств

— равные. (В частности, бесконечномерное пространства не изоморфно никакому пространству конечной размерности.)

В силу теоремы 4 единственной характеристикой конечномерного векторного пространства, определенного над данным полем является его размерность. По своей алгебраической структуре все -мерные векторные пространства над полем одинаковы. Можно, следовательно, сказать, что -мерное векторное пространство — это пространство всевозможных строк из чисел.

Поскольку мы уже условились, что основное поле — фиксированное числовое поле, то -мерное векторное пространство можно обозначать просто через одно обозначение для всех -мерных векторных пространств над одним и тем же полем F законно, потому что все -мерные векторные пространства над полем одинаковы (изоморфны).

1
Оглавление
email@scask.ru